(13) الاشتقاق والدوال الأصلية
تمرين 1 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x) = | -2x + 1 |
| x - 1 |
و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم
(O;i→;j→)
1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f
2) أحسب النهايات التالية
lim - ∞ |
f(x) | lim + ∞ |
f(x) |
lim 1- |
f(x) | lim 1+ |
f(x) |
واستنتج مقاربات المنحنى (C)
3) بين أن لكل x∈D
| f '(x) = | 1 |
| (x - 1)² |
4) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها
5) انشئ المقاربين والمنحنى (C).
تصحيح
1) الدالة f معرفة اذا كان
x-1≠0 أي x≠1
ومنه فان D=]-∞;1[∪]1;+∞[.
2) حساب النهايات وتحديد المقاربات
lim -∞ |
f(x) = | lim -∞ |
- 2x | = - 2 |
| x |
وهذا يعني أن المنحنى (C) يقبل مقاربا
معادلته y=-2 بجوار -∞
lim +∞ |
f(x) = | lim +∞ |
- 2x | = - 2 |
| x |
المنحنى (C) يقبل اذن مقاربا معادلته y=-2 بجوار +∞
لتحديد نهاية الدالة f عند 1 ندرس اشارة المقام x-1
| x | -∞ | 1 | +∞ | |||
| x - 1 | - | || | + |
عندما (x → 1-) فان (x-1 → 0-)
| - 1 | = + ∞ | بما أن |
| 0- |
lim 1- |
f(x) | = + ∞ | فان |
ومنه فان المستقيم (D): x=-1 مقارب ل (C)
عندما (x → 1+) فان (x-1 → 0+).
| - 1 | = - ∞ | بما أن |
| 0+ |
lim 1+ |
f(x) | = - ∞ | فان |
ومنه فان المستقيم (D): x=1 مقارب ل (C)
3) f دالة جذرية اذن قابلة للاشتقاق على D
ليكن x∈D
| f'(x) = | (-2x+1)'(x-1) - (-2x+1)(x-1)' |
| (x - 1)² | |
| = | - 2(x-1) - (-2x+1)(1) |
| (x - 1)² | |
| = | - 2x + 2 + 2x - 1 |
| (x - 1)² |
| f ' (x) = | 1 |
| (x - 1)² |
4) اشارة f '(x)
لدينا ∀x∈D: (x-1)² > 0
اذن (∀x∈IR \{1}) f '(x) > 0
وهذا يعني ان الدالة f تزايدية قطعا على ]-∞ ; 1[ وتزايدية قطعا كذلك على ]1 ; +∞[
جدول تغيرات الدالة f
| x | -∞ | 1 | +∞ | |||||
| f '(x) | + | || | + | |||||
| f | - 2 | ↗ | +∞ | || | -∞ | ↗ | - 2 |
5) لرسم المنحنى (C) يكفي تعيين قيم افاصيل مناسبة لبعض نقط المنحنى
