Dérivation et fonctions primitives (16)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par f(x)=-5x²+7x-3
1) Déterminer l'ensemble de fonctions primitives de f
2) Déterminer la fonction primitive G de la fonction f
qui vérifie la condition G(0)=-4.
Correction
1) On sait qu'une fonction primitive de la fonction x→-5x2 est définie par
| -5 | x 2 + 1 | = | -5 | x³ |
| 2 + 1 | 3 |
On sait qu'une fonction primitive de la fonction x→7x1 est définie par
| 7 | x 1 + 1 | = | 7 | x² |
| 1 + 1 | 2 |
On a (-3=-3.1=-3.x0) car (∀x≠0) x0=1
donc la fonction x→-3x est une primitive de la fonction x→-3x0
ainsi l'ensemble de fonctions primitives de f est l'ensemble de fonctions F définies sur IR comme suite
| F(x) = | -5 | x³ + | 7 | x² - 3x + k / k∈IR |
| 3 | 2 |
Remarque (∀x∈IR) F'(x)=f(x).
2) G est une fonction primitive de f donc s'écrit sous la forme
| G(x) = | -5 | x³ + | 7 | x²-3x+k avec k∈IR |
| 3 | 2 |
et on a
G(0)=-4 ⇔ -0+0-3.0+k=-4
⇔ 0 + k=-4 ⇔ k=-4
donc k=-4
et donc pour tout x∈IR
| G(x) = | -5 | x³ + | 7 | x² - 3x - 4 |
| 3 | 2 |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | -1 |
| x² |
1) Déterminer l'ensemble de fonctions primitives de f
2) Déterminer la fonction primitive G de la fonction f
qui vérifie la condition G(1)=5.
Correction
1)On a D=IR*
et on a pour tout x∈D
| ( | 1 | )' = - | 1 |
| x | x² |
donc pour tout x∈D
| f(x) = ( | 1 | )' = - | 1 |
| x | x² |
et cela signifie que la fonction
| x → | 1 |
| x |
est une fonction primitive de f ainsi l'ensemble de fonctions primitives de f est l'ensemble de fonctions F définies sur IR comme suite
| F(x) = | 1 | +k / k∈IR |
| x |
2) G est une fonction primitive de f donc s'écrit sous la forme
| G(x) = | 1 | + k | / k∈IR |
| x |
et on a
G(1)=5 ⇔ 1+k=5
⇔ k=5-1 ⇔ k=4
donc k=4 et donc pour tout x∈IR*
| G(x) = | 1 | + 4 |
| x |