Rappel
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
1) On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I si les deux conditions suivantes sont vérifiées
(a) F est dérivable sur I.
(b) (∀x∈I): F'(x)=f(x).

2) Si F est une fonction primitive de f alors F+k tel que k∈IR est une fonction primitive de f.
De plus l'ensemble des fonctions primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions de la forme F+k tel que k∈IR.

3) Soit n∈IN*

Fonction f			Fonction primitive F
xn			1	xn+1+k tel que k∈IR
			n+1

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par f(x)=x+1
Déterminer l'ensemble des fonctions primitive de f

Correction

On a x=x^{1 et 2=2x0}
donc la fonction x→x admet une primitive définie par

1	x 1 + 1	=	1	x²
1 + 1			2

La fonction x→2x⁰⁺¹=2x est une primitive de la fonction x→2
ainsi l'ensemble de fonctions primitives F_k de f définies par

F(x) =	1	x² + 2x + k	/ k∈IR
	2

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par f(x)= 3x²+2x+1
1) Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f
2) Déterminer la fonction primitive G de la fonction f qui vérifie la condition G(1)=2.

Correction

1) On sait que la fonction x→3x² admet une primitive définie par

3	x 2 + 1	=	3	x³ = x³
2 + 1			3

et on sait que la fonction x→x¹ admet une primitive définie par

2	x 1 + 1	=	2	x² = x²
1 + 1			2

On a 1=x⁰ donc la fonction x→x est une primitive de la fonction x→x⁰
ainsi l'ensemble de fonctions primitives F_k de f définies sur IR par
F_k(x)=x³+2x+k tel que k∈IR.

2) On a G est une primitive de f donc s'écrit sous la forme
G(x)=x³+2x+k / k∈IR.
et on a G(1)=5 ⇔ 1³+1²+1+k=5
⇔ 3+k=5 ⇔k=5-3=2
donc k=2 et donc (∀x∈IR)/ G(x)=x³+x²+x+2.