Rappel
1) Soient f une fonction définie sur un intérvalle I et a∈I et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→)
Si f est dérivable au point a alors la courbe (C) admet une tangente au point A(a;f(a)) de coefficient directeur f'(a) et son équation s'écrit sous la forme
y=f'(a)(x-a)+f(a).
2) (∀x∈IR): (xⁿ)' = nx^n-1.

3) Soient f et g deux fonctions dérivables sur I et n∈IN*
les fonctions f + g ; k.f ; f×g et f ⁿ sont également dérivables sur I et pour tout x∈I

De plus si g ne s'annule pas sur I alors l'inverse de g et le quotien de f sur g sont dérivables sur I. Soit x∈I

Notons que toute fonction polynôme est dérivable sur IR
et toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition D.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par f(x)=x²+2x et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1) Déterminer le nombre dérivé f'(1).
2) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 1.

Correction

1) On a 1∈D et f(1)=1²+2.1=3
et f est un polynôme donc dérivable sur IR
(∀x∈IR): f'(x)=(x²+2x)'=2x+2
donc f'(1)=2.1+2=4.

2) f est dérivable au point 1 donc la courbe (C) admet une tangente (T) au point 1 d'équation
y=f'(1)(x-1)+f(1) =4(x-1)+3=4x-4+3
ainsi (T): y=4x-1.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=x³+x²+x+2
Calculer f'(x) pour x∈IR.

Correction

f est un polynôme donc dérivable sur IR.
Soit x∈IR
f'(x)=(x³+x²+x+2)'
=3x²+(2.x)+1+0
ainsi (∀x∈IR): f'(x)=3x²+2x+1.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = -5x³ + 2x
Déterminer f'(x) pour x∈IR.

Correction

f est un polynôme donc dérivable sur IR.
Soit x∈IR
f'(x)=(-5x³+2)'=(-5x³)'+(2x)'
=-5.(x³)'+2=-5.3x²+2
ainsi pour tout x∈IR
on a f'(x)=-15x²+2.

Exercice 4 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=x³+5x²+7x+13
Calculer f'(x) pour x∈IR.

Correction

f est un polynôme donc dérivable sur IR.
Soit x∈IR
f'(x)=(x³+5x²+7x-13)'
=3x²+5(2.x)+7+0
ainsi (∀x∈IR): f'(x)=3x²+10x+7.