Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=(x²+5x)(4x-1)
Calculer f'(x) pour x∈IR.

Correction

f est le produit de deux polynômes donc dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=[(x²+5x)(4x-1)]'
=((2.x+5)(4x-1)+(x²+5x)(4)
=(8x²-2x+20x-5)+(4x²+20x)
=8x²+18x-5+4x²+20x
ainsi (∀x∈IR): f'(x)=12x²-38x-5.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=(x³-3x)(1-5x) Déterminer f'(x).

Correction

f est le produit de deux polynômes donc dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=[(x³-3x)(1-5x)]'
=(x³-3x)'(1-5x)+(x³-3x)(1-5x)'
=(3x²-3)(1-5x)+(x³-3x).(-5)
=(3x²-15x³-3+15x)+(-5x³+15x)
=-15x³-5x³+3x²+15x+15x-3
ainsi f'(x)=-20x³+3x²+30x-3 pour x∈IR.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=(5x²-1)²
Calculer f'(x) pour x∈IR.

Correction

f est un polynôme donc dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=[(5x²-1)²]'=2(5x²-1)'(5x²-1)^2-1
=2(5.2x)(5x²-1)=(20x.5x²)-20x
ainsi (∀x∈IR): f'(x)=100x³-20x

Exercice 4 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	5x-1
	2x+4

Calculer f'(x) pour tout x∈D

Correction

f est définie si 2x+4≠0
2x+4=0 ⇔ x=-2 donc D=IR\{-2}
f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D.

Soit x∈IR\{-2}

f '(x) =	(5x-1)'(2x+4) - (5x-1)(2x+4)'
	(2x+4)²
=	5(2x+4) - (5x-1)(2)
	(2x+4)²
=	10x + 20 - 10x + 2
	(2x+4)²

Ainsi (∀x∈IR\{-2}): f'(x) =	22
	(2x+4)²

Exercice 5 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	2x+1
	x²-4

Calculer f'(x) pour tout x∈D puis déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point A(1;-1).

Correction

f est définie si x²-4≠0
x²-4=0 ⇔ (x-2)(x+2)=0
⇔ (x-2=0 ou x+2=0) ⇔ x=2 ou x=-2
donc D=IR\{-2;2}.

f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D. Soit x∈IR\{-2;2}

f '(x) =	(2x+1)'(x²-4) - (2x+1)(x²-4)'
	(x²-4)²
=	2(x²-4) - (2x+1)(2x)
	(x²-4)²
=	2x²-8 - 4x²-2x
	(x²-4)²
=	-2x² - 2x - 8
	(x²-4)²

Ainsi pour tout x∈IR\{-2 ; 2}

f '(x) =	-2x²-2x-8
	(x² - 4)²

On a 1∈IR\{-2;2} donc f est dérivable au point 1 et donc la courbe (C) de f admet une tangente (T)
d'équation y=f'(1)(x-1)+f(1)

f'(1) =	-2.1² - 2.1 - 8	=	-12	=	-4
	(1² - 4)²		9		3

ainsi T: y =	-4	x +	1
	3		3