تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية ذات المتغير x معرفة كما يلي
f(x)=x³+x
و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم
(O;i^→;j^→).
1) ادرس زوجية الدالة f واستنتج انه يكفي دراسة الدالة على المجال [0;+∞[
2) احسب النهايتين التاليتين

lim - ∞

f(x)

lim + ∞

f(x)

3) احسب f'(x) حيث x∈D
4) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها
5) (a) حدد معادلة المماس للدالة f عند النقطة 0
(b) انشئ (C) واستنتج اشارة الدالة f مبيانيا.

تصحيح
1) لدينا f حدودية اذن D=IR
ومنه فان لكل x∈IR لدينا -x∈IR
ليكن x∈IR
f(-x)=(-x)³+(-x)=-x³-x=-(x³+x)
اذن لكل x∈IR لدينا f(-x)=f(x)

f اذن فردية ومنحنى الدالة f مماثل بالنسبة لأصل المعلم O
وبالتالي يمكن دراسة الدالة على المجال
[0;+∞[ ويسمى حيز المختصر للدراسة.
2) حساب النهايات

lim - ∞

f(x)

=

lim - ∞

x³ = - ∞

وبما أن f دالة فردية فان

lim + ∞

f(x)

= + ∞

ويمكن الاجابة باستعمال الخاصية

lim + ∞

f(x)

=

lim + ∞

x³ = + ∞

3) f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR
ليكن x∈IR لدينا
f'(x)=(x³+x)'=3x²+1
اذن لكل x∈IR لدينا f'(x)=3x²+1
4) اشارة f'(x)
f'(x)=0 ⇔ 3x²+1=0 ⇔ 3x²=-1
وهذا غير ممكن اذن المشتقة f' لا تنعدم

ليكن x∈IR
3x²≥0 اذن 3x²+1>0
ومنه فان لكل x∈IR لدينا f'(x)>0 اذن f تزايدية قطعا على IR
جدول التغيرات

x		-∞		+∞
f '(x)			+
f		-∞	↗	+∞

5) (a) الدالة f قابلة للاشتقاق على IR وبالخصوص في 0
اذن منحنى الدالة f يقبل مماسا (T) في النقطة 0 معادلته تكتب على الشكل
y = f '(0)(x - 0) + f(0)
لدينا f(x) = x³ + x اذن f(0) = 0
ولدينا f '(x) = 3x² + 1
اذن f '(0) = 3.0² + 1 = 1
ومنه فان معادلة المماس (T): y = x.

(b) لرسم المنحنى (C) يكفي تعيين قيم افاصيل مناسبة لبعض نقط المنحنى.

(c) مبيانيا منحنى الدالة f فوق محور الأفاصيل
اذا كان x∈[0 ; +∞[
منحنى الدالة f فوق محور الأفاصيل
اذا كان x∈]-∞;0]
وهذا يعني أن الدالة f
موجبة في المجال [0;+∞[
وسالبة في المجال ]-∞;0].