1- دالة اللوغاريتم النبيري

1.1 تعريف وخاصيات

1.1.1 تعريف

دالة اللوغاريتم النبيري ونرمز لها ب ln هي الدالة الاصلية الوحيدة التي تنعدم في 1 للدالة العددية

المعرفة على ]0;+∞[.
لدينا ln(1)=0.

نتائج
1) مجموعة تعريف الدالى ln هي D_ln=]0;+∞[.
2) الدالة ln قابلة للاشتقاق على ]0;+∞[ ولدينا

3) الدالة ln تزايدية قطعا على IR^+*=]0;+∞[.

1.1.2 خاصية 1

(1) اذا كان 0<x<1 فان ln(x)<0.
(2) اذا كان x>1 فان ln(x)>0.

1.1.3 خاصية 2

ليكن x و y عددينين حقييقيين موجبين قطعا.
(1) ln(x)=ln(y) ⇔ x=y.
(2) lnx<lny ⇔ x<y.

تمرين 1 tp

لتكن f و g دالتين عدديتين معرفتين كما يلي
f(x)=ln(x+1) و g(x)=ln(4-2x).
حدد مجموعة تعريف كل من الدالتين f و g.

تصحيح

1) محموعة تعريف الدالة f
f معرفة يعني x+1>0
x+1>0 ⇔ x>-1 ⇔ x∈]-1;+∞[
ومنه فان D_f=]-1;+∞[.

2) محموعة تعريف الدالة g
معرفة يعني 4-2x>0.
4-2x>0 ⇔ -2x>-4 ⇔ 2x<4
⇔ x<2 ⇔ x∈]-∞;2[
ومنه فان D_g=]-∞;2[.

تمرين 2 tp

حل في IR المعادلة التالية
ln(x+1)=ln(2x).

تصحيح

المعادلة ln(x-1)=ln(2x) معرفة ادا كان

اي اذا كان ( x>1 و x>0)
أي اذا كان x>1 ( ناخذ الاكبر )
ومنه فان De=]1;+∞[.

ليكن x∈]1;+∞[ لدينا
ln(x-1)=ln(2x) ⇔ x-1=2x
⇔ x-1=2x ⇔ x-2x-1=0
⇔ -x=1 ⇔ x=-1
وبما ان -1∉De فان -1 ليس حلا للمعادلة
وبالتالي S=∅.

تمرين 3 tp

حل في IR المعادلة التالية
ln(2x+2)=ln(x+5).

تصحيح

المعادلة ln(2x+2)=ln(x+5) معرفة اذا كان

اي اذا كان (2x≥-2 و x≥-5)
أي اذا كان (x>-1 و x>-5)

المعادلة معرفة اذا كان x≥-1 ( ناخذ الاكبر )
اذن De=]-1;+∞[.
ليكن x∈]-1;+∞[.
ln(2x+2)=ln(x+5) ⇔ 2x+2=x+5
⇔ 2x+2=x+4 ⇔ 2x+2-x=5
⇔ x=5-2=3
وبما أن 3∈]-1;+∞[
فان S={ 3 }.