تمرين 1 tp

حل في IR المتراجحة التالية
(I): ln(x+2)≥0.

تصحيح

المتراجحة (I) معرفة يعني x+2>0
يعني x>-2 ومنه فان Di=]-2;+∞[.
ليكن x∈Di. لدينا ln(1)=0
ln(x+2)≥0 ⇔ ln(x+2)≥ln(1)
⇔ x+2≥1 ⇔ x≥-1.
⇔ x∈[-1;+∞[.

بما أن x∈Di فان S=[-1;+∞[∩]-2;+∞[
لدينا [-1;+∞[⊂]-2;+∞[ اذن S=[-1;+∞[.

تمرين 2 tp

حل في IR المتراجحة التالية
(I): ln(x+2)≤ln(2-x).

1.1.4 الخاصيات الجبرية

خاصية 1
ليكن x و y عددين حقيقيين موجبين قطعا.
ln(xy)=ln(x)+ln(y).

أمثلة
1) ln(35)=ln(5×7)=ln(5)+ln(7).
2) ln(20)=ln(2×10)=ln(2)+ln(10).
3) ln(8)+ln(9) =ln(8×9)=ln(72).

خاصية 2
ليكن x و y عددين موجبين قطعا.
ln(x²)=2ln(x).
∀n∈ℤ: ln(xⁿ)=nln(x).

نتائج

تمرين 3 tp

1) نضع ln(3)≃1,09 و ln(17)≃2,83.
احسب ln(51).
2) نضع ln(49)≃3,9.
احسب ln(7).

تصحيح

1) ln(51)=ln(3×17)=ln(3)+ln(17)
ومنه فان ln(51)≃1,09+2,83
وبالتالي ln(51)≃3,92.

2) ln(49)=ln(7²)=2ln(7)
ومنه فان 2ln(7)≃3,9
وبالتالي ln(49)≃1,95.

تمرين 4 tp

بسط ما يلي
1) A=ln2+ln12-ln8.
2) B=ln(20)+ln(12)-ln(15).

تصحيح

1) A=ln2+ln12-ln8=ln2+ln(3×4)-ln2³
=ln2+ln3+ln4-3ln2
=ln2+ln2²-3ln2+ln3
=3ln2-3ln2+ln3.
اذن A=ln3.

2) ln(20)=ln(4×5)=ln(4)+ln(5)
ln(12)=ln(4×3)=ln(4)+ln(3)
ln(15)=ln(3×5)=ln(3)+ln(5).

ومنه فان
E=ln4+ln5+ln4+ln3-(ln3+ln5)
=2ln(4)=2ln(2²)
اذن E=4ln(2).

تمرين 5 tp

بسط ما يلي

B=ln(√2 +1)²⁰²⁰+ln(√2 -1)²⁰²⁰.