1- Fonction logarithme népérien

1.1 Définition et propriétés

1.1.1 Définition

La fonction primitive de la fonction

sur ]0;+∞[ et qui s'annule en 1 est appelée fonction logarithme népérien notée ln.

Résultats ln1 = 0
1) D_ln=IR^+* est l'ensemble de définition de ln.
2) La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[

3) ln est strictement croissante sur IR^+*

1.1.2 Propriété 1

1) Si 0<x<1 alors lnx<0.
3) Si x>1 alors lnx>0.

1.1.3 Propriété 2

Soient x et y deux éléments de IR^+*.
1) lnx=lny ⇔ x=y.
2) lnx<lny ⇔ x<y.

Exercice 1 tp

Soient f et g deux fonctions numériques définies par
f(x)=ln(x+1) et g(x)=ln(4-2x).
Déterminer l'ensemble de définition de chacune de f et g.

Correction

1) Ensemble de définition de f.
f est définie si x+1>0
x+1> 0 ⇔ x>-1 ⇔ x∈]-1;+∞[
ainsi D_f=]-1;+∞[.

2) Ensemble de définition de g.
g est définie si 4-2x>0
4-2x>0 ⇔ -2x>-4
⇔ 2x<4 ⇔ x<2
⇔ x∈]-∞;2[
ainsi D_g=]-∞;2[.

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'équation suivante
ln(x+1)=ln(2x).

Correction

L'équation ln(x-1)=ln(2x) est définie si

Ou encore si (x>1 et x>0)
ou encore si x>1 ( on prend le plus grand)
ainsi De=]1;+∞[.

Soit x∈]1;+∞[.
ln(x-1) =ln(2x) ⇔ x-1=2x
⇔ x-1=2x ⇔ x 2x-1=0 ⇔ -x=1
donc x=-1 et puisque -1∉De alors -1 n'est pas une solution de l'équation
et par conséquent S=∅.

Exercice 3 tp

Résoudre dans IR l'équation suivante
ln(2x+2)=ln(x+5).

Correction

L'équation ln(2x+2)=ln(x+5) est définie si

ou encore si (2x≥-2 et x≥-5)
ou encore si (x>-1 et x>-5).

L'équation est donc définie si x≥-1 (on prend le plus grand)
ainsi De=]-1;+∞[.

Soit x∈]-1;+∞[
ln(2x+2)=ln(x+5) ⇔ 2x+2=x+5
⇔ 2x+2=x+4 ⇔ 2x+2-x=5
⇔ x=5-2=3.
Puisque 3∈]-1;+∞[ alors S={ 3 }