Exercice 1 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I): ln(x+2)≥0.

Correction

L'inéquation (I) est définie si x+2>0
ou encore si x>-2 ainsi Di=]-2;+∞[.

Soit x∈Di on a ln(1)=0.
(I) ⇔ ln(x+2)≥ln(1)
⇔ x+2≥1 ⇔ x≥-1
⇔ x∈[-1;+∞[.

Puisque x∈Di alors S=[-1;+∞[∩]-2;+∞[
On a [-1;+∞[⊂]-2;+∞[ donc S=[-1;+∞[.

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I) ln(x+2)≤ln(2-x).

1.1.4 Proprités algébriques

Propriété 1
Soint x et y∈]0;+∞[.
ln(xy)=ln(x)+ln(y).

Exemples
1) ln(35)=ln(5×7)=ln(5)+ln(7).
2) ln(20)=ln(2×10)=ln(2)+ln(10).
3) ln(8)+ln(9)=ln(8×9)=ln(72).

Propriété 2
Soint x et y∈]0 ; +∞[
ln(x²) = 2ln(x).
(∀n∈ℤ): ln(xⁿ) = nln(x).

Résultats

Exercice 3 tp

1) On pose ln(3)≃1,1 et ln(17)≃2,83.
Calculer ln(51).
2) On pose ln(49)≃3,9
Calculer ln(7).

Correction

1) ln(51)=ln(3×17)=ln(3)+ln(17)
donc ln(51)≃1,09+2,83
ainsi ln(51)≃3,92.

2) ln(49)ln(7²)=2ln(7)
donc 2ln(7)≃3,9
ainsi ln(49)≃1,95

Exercice 4 tp

Simplifier ce qui suit
1) A=ln2+ln12-ln8.
2) B=ln(20)+ln(12)-ln(15).

Correction

1) A=ln2+ln12-ln8=ln2+ln(3×4)-ln2³
=ln2+ln3+ln4-3ln2
=ln2+ln2²-3ln2+ln3
=3ln2-3ln2+ln3.
donc A=ln3.

2) ln(20)=ln(4×5)=ln(4)+ln(5)
ln(12)=ln(4×3)=ln(4)+ln(3)
ln(15)=ln(3×5)=ln(3)+ln(5).

On a donc
B=ln4+ln5+ln4+ln3-(ln3+ln5)
=2ln(4)=2ln(2²)
ainsi B=4ln(2).

Exercice 5 tp

Simplifier ce qui suit

B=ln(√2 +1)²⁰²⁰+ln(√2 -1)²⁰²⁰.