2- دالة اللوغاريتم العشري

2.1 تعريف وخاصية

2.1.1 تعريف

دالة اللوغاريتم العشري هي الدالة التي نرمز لها ب log
ومعرفة على IR^+* كما يلي

log(x) =	ln(x)
	ln(10)

2.1.2 أمثلة

log(5) =	ln(5)
	ln(10)

log(10)=1
log(1)=0

log(100) =	ln(100)	=	2ln(10)	= 2
	ln(10)		ln(10)

log(0,001) =	ln(10-3)	=	-3ln(10)	= -3
	ln(10)		ln(10)

2.1.3 خاصيات

1) دالة اللوغاريتم العشري log قلبلة للاشتقاق على ]0;+∞[ ولدينا لكل x∈]0;+∞[

(log)'(x) =	1
	xln(10)

2) دالة اللوغاريتم العشري log ]0;+∞[.
3) لكل x∈]0;+∞[ و لكل y∈]0;+∞[
لدينا logx=logy ⇔ x=y.
ولدينا logx < logy ⇔ x<y.

2.2 خاصيات و أمثلة

2.2.1 خاصيات

ليكن x و y عددين حقيقيين موجبين قطعا و n∈ℤ*.
log(x.y)=log(x)+log(y).

log(xⁿ)=nlog(x).

log	1	= - log(y)
	y
log	x	= log(x) - log(y)
	y

2.2.2 أمثلة

1) log100=log10²=2log10
ولدينا log10=1 اذن log100=2.
2) log100000=log10⁵=5log10
ولدينا log10=1 اذن log100000=5.
3) log(0,001)=log(10^-3)=-3log10.
ولدينا log10=1 اذن log(0,003)=-3.
4) log(10²⁰²²)=2022.

تمرين 1 tp

حل المعادلة التالية (E): log(2x)=1.

تصحيح

المعادلة (E) معرفة يعني 2x>0 اي x>0.
اذن يجب ان يكون x∈]0;+∞[.
وبالتالي D=]0;+∞[. ليكن x∈D
ونعلم ان log(10)=1 اذن
log(2x)=1 ⇔ log(2x)= log(10)
⇔ 2x=10 ⇔ x=5
وبما ان 5∈]0;+∞[ فان S={ 5 }.

تمرين 2 tp

حل المعادلة التالية
(log)²(x)-2.logx=0.

تمرين 3 tp

حل المعادلة التالية
(log)²(x)-5.log(x)-50=0.

تمرين 4 tp

حل النظمة التالية

{	2logx - logy = 190
	logx + logy = 110