2- Logarithme décimal

2.1 Définition et propriétés

2.1.1 Définition

La fonction logarithme décimale est la fonction notée log et définie sur IR^+* par

log(x) =	ln(x)
	ln(10)

2.1.2 Exemples

log(5) =	ln(5)
	ln(10)

log(10) = 1
log(1) = 0

log(100) =	ln(100)	=	2ln(10)	= 2
	ln(10)		ln(10)

log(0,001) =	ln(10-3)	=	-3ln(10)	= -3
	ln(10)		ln(10)

2.1.3 Propriétés

1) La fonction logarithme décémale est dérivable sur ]0;+∞[. Soit x∈]0;+∞[

(log)'(x) =	1
	xln(10)

2) La fonction logarithme décimale log est strictement croissante sur ]0;+∞[.
3) Soient x et y deux éléments de ]0;+∞[.
(a) logx=logy ⇔ x=y.
(b) logx<logy ⇔ x<y.

2.2 Propriétés et exemples

2.2.1 Propriétés

Soient x; y∈]0;+∞[ et n∈ℤ*
log(x.y)=log(x)+log(y)

log(xⁿ)=nlog(x)

log	1	= -log(y)
	y
log	x	= log(x) - log(y)
	y

Exemples
1) log100=log10²=2log10.
On a log10=1 donc log100=2.
2) log100000=log10⁵=5log10
On a log10=1 donc log100000=5.
3) log(0,001)=log(10^-3)=-3log10.
On a log10=1 donc log0,001=-3.
4) log(10²⁰²²)=2022.

Exercice 1 tp

Résoudre l'équation suivante
(E): log(2x)=1.

Correction

L'équation (E) est définie si 2x>0
ou encore si x>0
ou encore si x∈]0;+∞[
donc D=]0;+∞[. Soit x∈D
et on a log(10)=1
donc log(2x)=1 ⇔ log(2x)=log(10).

⇔ 2x=10 ⇔ x=5.
Puisque 5∈]0;+∞[ alors S={ 5 }.

Exercice 2 tp

Résoudre l'équation suivante
(log)²(x)-2.logx=0.

Exercice 3 tp

Résoudre l'équation suivante
(log)²(x)-5.log(x)-50=0.

Exercice 4 tp

Résoudre le système suivant

{	2logx - logy =	190
	logx + logy =	110