Fonctions Logarithmes (4)
1.2 Représentation graphique de la fonction ln
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
(O;i→;j→) et (C) la courbe représentative de la fonction ln.
1) Domaine de définition de ln
D=IR+*=]0;+∞[.
2) On admet les limites suivantes qui sont considérées comme des limites de référence.
(a) Limite en +∞ et limite en 0+
lim +∞ |
ln(x) | = +∞ | lim 0+ |
ln(x) | = - ∞ |
Résultat 1
| Puisque | lim 0+ |
ln(x) | = - ∞ |
On dit alors que la courbe (C) admet l'axe des ordonnées (Oy) comme asymptote.
(b) Autre limite de référence en + ∞
lim +∞ |
ln(x) | = 0 |
| x |
Résultat 2
Puisque
lim +∞ |
ln(x) | = 0 |
| x |
on dit alors que la courbe (C) admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses (Ox).
3) Monotonie et la dérivée
La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[
et on a ∀x∈]0;+∞[
| (ln)'(x) = | 1 |
| x |
Puisque x>0 alors ∀x∈]0;+∞[ on a ln'(x)>0
et cela signifie que la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[.
| x | 0 | +∞ | ||
| f '(x) | || | + | ||
| f | || | -∞ |
↗ |
+ ∞ |
La courbe (C).
Exercice 1 tp
Calculer les limites suivantes
lim +∞ |
x²+ 1 + ln(x) |
lim +∞ |
lnx - (lnx)² |
lim 0+ |
lnx + (lnx)² |
Exercice 2 tp
Calculer la limite suivante
lim +∞ |
1 | + lnx |
| x |
Exercice 3 tp
Calculer la limite suivante
lim 0+ |
√(x) | + lnx |
| x |