تمرين 1 tp

لتكن f و g دالتين عدديتين معرفتين كما يلي
f(x)=ln(x + 1) و g(x)=ln(4-2x)
حدد مجموعة تعريف كل من الدالتين f و g.

تصحيح

1) محموعة تعريف الدالة f
f معرفة اذا كان x+1>0
x+1>0 ⇔ x>-1
⇔ x∈]-1;+∞[
ومنه فان D_f=]-1;+∞[.

2) g محموعة تعريف الدالة g
معرفة اذا كان 4-2x>0
4-2x> ⇔ -2x >-4
⇔ 2x<4 ⇔ x<2
⇔ x∈]-∞;2[
ومنه فان D_g=]-∞;2[

تمرين 2 tp

حل في IR كل من المعادلات التالية

تصحيح

1) المعادلة ln(x)=0 معرفة اذا كان x∈]0;+∞[
ليكن x∈]0;+∞[. لدينا ln(1)=0
ln(x)=0 ⇔ ln(x)=ln(1) ⇔ x=1
بما أن 1∈]0;+∞[ فان S={ 1 }.

2) المعادلة ln(x)=1 معرفة اذا كان x∈]0;+∞[
ذن D=]0;+∞[ ليكن x∈D.
لدينا ln(e)=1
ln(x)=1 ⇔ ln(x)=ln(e) ⇔ x=e
بما أن e∈]0;+∞[ فان S={e}.

3) المعادلة ln(x)=3 معرفة اذا كان x∈]0;+∞[
اذن D=]0;+∞[. ليكن x∈D
ln(x)=3=3.1 ⇔ ln(x)=3ln(e).
بتطبيق الخاصية ln(xⁿ)=nln(x) نحصل على
ln(x)=3 ⇔ ln(x)=ln(e³) ⇔ x=e³
بما أن e³∈]0;+∞[ فان S={e³}.

4) المعادلة ln(x+3)=-2 معرفة اذا كان x+3>0
x+3>0 ⇔ x>-3
⇔ x∈]-3;+∞[
اذن D=]-3;+∞[. ليكن x∈D.
ln(x+3)=-2 ⇔ ln(x+3)=ln(e^-2)
⇔ x+3=e^-2 ⇔ x=-3+e^-2
وبما أن -3+e^-2>-3 فان S={-3+e^-2}.

تمرين 4 tp

حل في IR المعادلة التالية
(E): ln(x-3)=0

تصحيح

المعادلة (E) معرفة ادا كان x-3>0
x-3>0 ⇔ x>3
>x∈]3;+∞[=D.

ليكن x∈D=]3;+∞[. لدينا ln(1)=0
ln(x-3)=0 ⇔ ln(x-2)=ln(1)
⇔ x-3=1 ⇔ x=1+3 ⇔ x=4
العدد 4 ينتمي الى D مجموعة تعريف المعادلة
اذن 3 حل للمعادلة وبالتالي S = { 4 }.