Exercice 1 tp

Soient f et g deux fonctions numériques définies par
f(x)=ln(x+1) et g(x)=ln(4-2x).
Déterminer l'ensemble de définition de chacune de f et g.

Correction

1) Ensemble de définition de f
f est définie si x+1>0
x+1>0 ⇔ x>-1
⇔ x∈]-1;+∞[
ainsi D_f=]-1;+∞[.

2) Ensemble de définition de g
g est définie si 4-2x>0
4-2x>0 ⇔ -2x>-4
⇔ 2x<4 ⇔ x<2
⇔ x∈]-∞;2[
ainsi D_g=]-∞;2[.

Exercice 1 tp

Résoudre dans IR les équations suivantes

Correction

1) L'équation ln(x)=0 est définie
si x∈]0;+∞[ donc D=]0;+∞[.
Soit x∈D. On a ln(1)=0
ln(x)=0 ⇔ ln(x)=ln(1) ⇔ x=1.
Puisque 1∈]0;+∞[ alors S={1}.

2) L'équation ln(x)=1 est définie
si x∈]0;+∞[ donc D=]0;+∞[.
Soit x∈D. On a ln(e)=1
ln(x)=1 ⇔ ln(x)=ln(e) ⇔ x=e
Puisque e∈]0;+∞[ alors S={ e }.

3) L'équation ln(x)=3 est définie si x∈]0;+∞[
donc D=]0;+∞[. Soit x∈D.
ln(x)=3=3.1 ⇔ ln(x)=3ln(e).
En utilisant la propriété ln(xⁿ)=nln(x) on obtient
ln(x)=3 ⇔ ln(x)=ln(e³) ⇔ x=e³.
Puisque e³∈]0;+∞[ alors S={e³}.

4) L'équation ln(x+3)=-2 est définie si x+3>0
x+3>0 ⇔ x>-3
⇔ x∈]-3;+∞[
donc D=]-3;+∞[. Soit x∈D.
ln(x+3)=-2 ⇔ ln(x+3)=ln(e^-2)
⇔ x+3=e^-2 ⇔ x=-3+e^-2
Puisque -3+e^-2>-3 alors S={-3+e^-2}.

Exercice 4 tp

Résoudre dans IR l'équation suivante
(E): ln(x - 3) = 0.

Correction

L'équation (E) est définie si x-3≥0
x-3>0 ⇔ x>3
⇔ x∈]3;+∞[=D.

Soit x∈D=]3;+∞[. On a ln(1)=0
ln(x-3)=0 ⇔ ln(x-2)=ln(1)
⇔ x-3=1 ⇔ x=1+3 ⇔ x=4
4∈D donc 3 est la solution de l'équation (E)
ainsi S = { 4 }.