Exercice 1 tp

La fonction logarithme décimale est notée par log.
Simplifier
a=log(2000)-log(8000)+log(40)
b=log(7√3+√47)+log(7√3 - √47)

c = log( 1 +	1	) + 2log(3)
	9

Correction

a=log(2000)-log(8000)+log(40)
=log(2×10³)-log(8×10³)+log(4×10)
=log2+log10³-log8+log10³+log4+log10

=log2+3log10-log2³-3log10+log2²+log10
=log(2)+3-3log(2)-3+2log(2)+1=1
donc a = 1.

b=log(7√3+√47)+log(7√3-√47)
=log((7√3+√47)(7√3-√47)
Rappel (x-y)(x+y)=x²-y²
En utilisant cette identité remarquable nous obtemons
b=log((7√3)²-(√(47))²)
=log(147-47)=log(100)
=log10²=2log10=2
donc b = 2.

c = log(1 +	1	) + 2log(3)
	9
= log(	9 + 1	) + 2log(3)
	9
= log(	10	) + 2log(3)
	9

=log(10)-log(9)+2log(3)
=1-log3²+2log(3)
=1-2log(3)+2log(3)=1
donc c = 1.

Exercice 2 tp

Résoudre les équations suivantes
(E₁): log(2x)=1
(E₂): (log)²(x)-2.log(x)=0.

Correction

1) L'équation (E₁) est séfinie si 2x>0 c'est à dire si x>0
On a log(10)=1 et soit x∈]0;+∞[
log(2x)=1 ⇔ log(2x)=log(10)
⇔ 2x=10 ⇔ x=5
puisque 5∈]0;+∞[ alors S={ 5 }.

2) L'équation (E₂) est séfinie si x>0 c'est à dire si x∈]0;+∞[.
Soit x∈]0;+∞[
(log)²(x)-2.log(x)=0
⇔ log(x)[log(x)-2]=0
⇔ (logx=0 ou log(x)-2=0)
⇔ (x=1 ou logx=2)
⇔ (x=1 ou logx=log10²)
⇔ (x=1 ou x=10²=100 )
donc S={1;100}.

Exercice 3 tp

Résoudre le système suivant

(S) {	2logx - logy = 7
	logx + logy = 5

Correction

Le système (S) est définie si x et y sont strictement positifs
Soient x et y de ]0;+∞[
En posant X=logx et Y=logy nous obtenons

{	2X - Y = 7
	X + Y = 5

Par exemple, nous utilisons la méthode de substitution pour résoudre ce système.

{	2X - (5 - x) = 7	⇔ {	3X = 7 + 5= 12
	Y = 5 - X		Y = 5 - X

⇔ {	X = 4
	Y = 5 - 4 = 1

donc (X=4 et Y=1) ou encore (logx=4 et logy=1)
On a log10=1 donc (x=10⁴ et y=10)
ainsi S={(10⁴ ; 10)}.

Exercice 4 tp

Résoudre l'équation suivante
(log)²(x) - 5.log(x) - 50 = 0

Exercice 5 tp

Résoudre le système suivant

{	2logx - logy = 190
	logx + logy = 110