(1) المتتاليات العددية
1- المتتاليات من النوع
Un+1=aUn+b والتمثيلات المبيانية
1.1 تذكير
1.1.1 تعريف
لتكن I مجموعة الأعداد الطبيعية التي أكبر من أو تساوي أحد الأعداد الطبيعية p.
المتتالية العددية هي تطبيق أو دالة معرفة على I ونرمز لها ب (un)n≥p أو (un)n∈I ...
1.1.2 المتتاليات الترجعية
تعريف
المتتالية الترجعية هي متتالية عددية حيث كل حد منها مرتبط بالحدود السابقة.
مثال
لتكن (un) متتالية عددية معرفة كما يلي
un+1=2un + 7 حيث n∈IN و u0 = 4.
احسب الحد الثاني والرابع للمتتالية (un).
تصحيح
لدينا الحد الأول u0=4 لان المتتالية معرفة على IN.
1) الحد الثاني
u1= u0+1
=2u0+7=2.4+7
اذن u1=15.
3) الحد الرابع
u3=u2+1
=2u2+7
نحسب الحد الثالث
u2=2u1+7=2.15 +7=37
ومنه فان الحد الرابع
u3=2.37+7=81.
1.1.2 المتتالية الحسابية
تعريف
نقول ان (un)n≥p متتالية حسابية أساسها r اذا كانت تكتب على الشكل التالي
un+1=un+r حيث n≥p
و up=a حدها الأول.
خاصية 1
لتكن (un) متتالية حسابية حدها الأول u0 وأساسها r.
الحد العام للمتتالية (un) معرف كما يلي
un=u0+nr حيث n∈IN.
ملاحظة
لتكن (un)n≥p متتالية حسابية أساسها r.
لدينا un=up+(n-p)r.
خاصية 2
لتكن (un)n≥p متتالية حسابية
و S=up+up+1+ .. +un.
| S = | n-p+1 | (up+un) |
| 2 |
n-p+1 عدد حدود المجموع S.
1.1.4 المتتالية الهندسية
نقول ان (un)n≥p متتالية هندسية أساها q اذا كانت تكتب على الشكل التالي
un+1=qun حيث n≥p و up=a حدها الأول.
خاصية 1
لتكن (un)n≥p متتالية هندسية أساسها q.
un=upqn-p.
خاصية 2
لتكن (un)n≥p متتالية هندسية أساسها q≠1
و S=up+up+1+ .. +un.
| S = up | 1-qn-p+1 |
| 1-q |
n-p+1 عدد حدود المجموع S.
مثال
لتكن (un)n≥2 متتالية هندسية أساسها q=3
و u2=7
و S=u2+u3+ .. +u15.
n-p+1=15-2+1=14 عدد حدود المجموع S.
| S = 7 | 1 - 314 |
| 1-3 |
اذن
| S = -7 | (1 - 314) |
| 2 |