1- Suites de la forme
U_n+1=aU_n+b et leurs représentations graphique

1.1 Rappel

1.1.1 Définition

Soit I un ensemble des entiers naturels supérieurs ou égals à un entier naturel p.
Une suite numérique est une fonction ou une application définie sur I et est notée (u_n)_n≥p ou (u_n)_n∈I ..

1.1.2 Suite récurente

Définition
Une suite récurente est une suite dont chaque terme est lié aux termes précédents.

Exemple
Soit (u_n) une suite définie par
u_n+1=2u_n+7 tels que n∈IN et u₀=4.
Calculer le deuxième et le quatrième terme de la suite (u_n).

Correction
Le premier terme u₀=4.

1) Deuxième terme
u₁=u₀₊₁=2u₀+7=2.4+7
donc u₁=15.
3) Quatrième terme
u₃=u₂₊₁=2u₂+7.
On calcule d'abord le troisième terme
u₂=2u₁+7=2.15+7=37
ainsi le quatrième terme
u₃=2.37+7=81.

1.1.3 Suite arithmétique

Définition
Une suite (u_n)_n≥p est une suite arithmétique de raison r si elle s'écrit sous la forme
u_n+1=u_n+r tel que n≥p et u_p=a son premier terme.

Propriété 1 Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u₀.
Le terme général de la suite (u_n) est défini par
u_n=u₀+nr tel que n∈IN.

Remarque
Soit (u_n)_n≥p une suite arithmétique de raison r.
u_n=u_p+(n-p)r.

Propriété 2
Soit (u_n)_n≥p une suite arithmétique.
et S=u_p+u_p+1+ .. +u_n.

n-p+1 est le nombre de termes de la somme S.

1.1.4 Suit géométrique

Une suite (u_n)_n≥p est une suite géométrique de raison q si elle s'écrit sous la forme
u_n+1=qu_n tel que n≥p et u_p=a son premier terme.

Propriété 1
Soit (u_n)_n≥p une suite géométrique de raison q.
u_n=u_pq^n-p.

Propriété 2
Soit (u_n)_n≥pune suite géométrique de raison q tel que q≠1
et S=u_p+u_p+1+ .. +u_n.

n-p+1 est le nombre de terme de la somme S.

Exemple
Soit (u_n)_n≥2 une suite géométrique
de raison q=3 et u₂=7
On pose S=u₂+u₃+ .. +u₁₅ .

n-p+1=15-2+1=14 est le nombre de terme de la somme S.