Exercice 1 tp

Soit (u_n)_n∈IN une suite numérique définie par
u_n+1=2u_n+1 tel que n∈IN et son premier terme u_{0=3.
On considère une suite (vn)n∈IN définie par
vn=un+1.
1) Calculer v0
2) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont la raison doit être déterminée.}

3) Déterminer v_n en fonction de n.
4) Déduire u_n en fonction de n.

Correction

1) On a v_n=u_n+1 donc v₀=u₀+1=3+1=4.
2) Montrons que (v_n) est une suite géométrique pour cela on calcule v_n+1.
On a v_n =u_n+1 donc v_n+1=u_n+1+1
c'est à dire v_n+1=(2u_n+1)+1=2(u_n+1).

Puisque u_n+1=v_n alors v_n+1=2v_n et cela signifie que (v_n) est une suite géométrique de raison q=2 et son premier terme v₀=4.
3) On détermine v_n en fonction de n.
Puisque (v_n) est une suite géométrique
alors v_n=v₀qⁿ ainsi v_n=4.2ⁿ.
4) v_n=u_n+1
donc u_n=v_n-1 et donc u_n=4.2ⁿ-1.

Exercice 2 tp

Soit (u_n) une suite arithmétique de raison 8 et son premier terme u₀=1.
On considère une suite (v_n) définie par

1) Calculer v₀.
2) Montrer que la suite (v_n) est une suite arithmétique dont la raison doit être déterminée.

3) Déterminer v_n en fonction de n.
4) Déterminer u_n en fonction de n.

Correction

1) On calcule v₀

donc

2) On montre que la suite (v_n) est une suite arithmétique. On calcule donc v_n+1.

Ou encore

ainsi v_n+1=v_n+2 et cela signifie que (v_n) est une suite arithmétique de raison 2.

3) On détermine v_n en fonction de n.
puisque (v_n) est une suite arithmétique alors v_n=v₀+2n.

Ou encore

4) On détermine u_n en fonction de n.
(u_n) est une suite arithmétique de raison 8
donc u_n=u₀+8n
ainsi u_n=1+8n.