Les suites numériques (6)
3.3 Elargir le concept de la limite
3.3.1 Propriétés
La somme Soient (un) et (vn) deux suites.
lim +∞ |
(un) | lim +∞ |
(vn) | lim +∞ |
(un + vn) | ||
| L | +∞ | +∞ | |||||
| +∞ | +∞ | +∞ | |||||
| -∞ | -∞ | -∞ | |||||
| +∞ | -∞ | ╳ | |||||
| -∞ | +∞ | ╳ | |||||
Le produit Soient (un) et (vn) deux suites.
lim +∞ |
(un) | lim +∞ |
(vn) | lim +∞ |
(un x vn) | ||
| L< 0 | -∞ | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | ||
| +∞ | -∞ | -∞ | |||||
| 0 | +∞ | ╳ | |||||
| -∞ | -∞ | +∞ | |||||
Le quotient Soient (un) et (vn) deux suites.
lim +∞ |
(un) | lim +∞ |
(vn) | lim +∞ |
(un) | ||
| (vn) | |||||||
| L > 0 | 0+ | +∞ | |||||
| L > 0 | 0- | -∞ | |||||
| +∞ | +∞ | ╳ | |||||
| +∞ | 0+ | +∞ | |||||
| 0 | 0 | ╳ | |||||
╳ signifie Forme indéterminée.
3.3.2 Exemples
1) Calculer la limite suivante
lim +∞ |
3n² + 2n - 5 |
Correction On a
lim +∞ |
3n² = +∞ | lim +∞ |
2n - 5 = +∞ |
Puisque +∞+∞=+∞ alors
lim +∞ |
3n² + 2n - 5 = +∞ |
2) Calculer la limite suivante
lim +∞ |
5n²-3n+4 |
Correction On a
lim +∞ |
5n² = +∞ | lim +∞ |
-3n + 4 = - ∞ |
Puisque +∞-∞ est une forme indéterminée. On ne peut pas utiliser directement les Opérations sur les limites mais on doit utiliser autre méthode comme exemple la factorisation.
lim +∞ |
5n² - 3n = | lim +∞ |
5n²(1 - | 3 | ) |
| 5n |
Puisque
lim +∞ |
3 | = 0 |
| 5n |
alors
lim +∞ |
(1 - | 3 | ) = 1 |
| 5n |
On a donc
lim +∞ |
5n² - 3n = | lim +∞ |
5n² × 1 = +∞ |
3) Calculer la limite suivante
lim +∞ |
-2n³-2n²+7 |
Correction On a
lim +∞ |
-2n³ = -∞ |
lim +∞ |
-2n² + 7 = | lim +∞ |
-2n² = -∞ |
puisque -∞-∞=-∞ alors
lim +∞ |
-2n³-2n²+7 = -∞ |