Les suites numériques (5)
3- Opérations sur les limites
3.1 Limite de la somme et du produit
3.1.1 Propriétés
Soient (un) et (vn) deux suites numériques qui admettent une limite finie en +∞ et k∈IR.
lim +∞ |
(un+vn) | = | lim +∞ |
(un)+ | lim +∞ |
(vn) |
lim +∞ |
(un × vn) | = | lim +∞ |
(un) × | lim +∞ |
(vn) |
lim +∞ |
k(un) | = k | lim +∞ |
(un) |
et on a
lim +∞ |
(k + un) | = k + | lim +∞ |
(un) |
Exemple
lim +∞ |
(-8 + | 1 | ) = -8 + | lim +∞ |
1 | = -8+0=-8 |
| n² | n² |
3.1.2 Exemple
Soient (un) et (vn) deux suites définies par
| un = 10 + | 1 | et vn = -2 + | 1 |
| n | √(n) |
Calculer
lim +∞ |
(un + vn) | et | lim +∞ |
(un × vn) |
Correction
lim +∞ |
(un) | = 10 + | lim +∞ |
1 |
| n | ||||
lim +∞ |
1 | = 0 ⇒ | lim +∞ |
(un) = 10 |
| n |
lim +∞ |
(vn) | = -2 + | lim +∞ |
1 |
| √(n) |
lim +∞ |
1 | = 0 ⇒ | lim +∞ |
(un) = -2 |
| √(n) |
Puisque
lim +∞ |
(un) = 10 | et | lim +∞ |
(vn) = -2 |
alors
lim +∞ |
(un + vn) | = 10 + (-2) = 8 |
lim +∞ |
(un × vn) | = 10 × (-2) = -20 |
3.2 Limite de l'inverse
3.2.1 Propriétés
Soient (un) une suite admetant une limite et (vn) une suite numériques qui admetant une limite non nule.
| lim +∞ |
1 | = | 1 |
|
| vn | lim +∞ |
(vn) | ||
lim +∞ | un | = | lim +∞ |
(un) |
| vn | lim +∞ |
(vn) |
3.2.2 Exemple
Soient (un) et (vn) deux suites définie par
| un = 12 + | 1 | et vn = -3 + | 1 |
| n² | √(n) |
lim +∞ |
(un) = 12 | et | lim +∞ |
(vn) = -3 |
donc
lim +∞ |
un | = | 12 | = -4 |
| vn | -3 |