Les suites numériques (8)
3.4 Limite de la suite géométrique (qn) tel que q∈IR*
3.4.1 Propriété
(qn) tel que q∈IR* est une suite géométrique.
| 1) Si q > 1 alors | lim +∞ | qn | = +∞ |
| 2) Si -1 < q < 1 alors | lim +∞ |
qn | = 0 |
3) Si q≤-1 alors la suite n'admet pas de limite.
Exemple 1
lim +∞ |
2n | = +∞ |
car 2>1.
Exemple 2
lim +∞ |
( | 3 | )n | = 0 |
| 4 |
| car | -1 < | 3 | < 1 |
| 4 |
Exemple 3
lim +∞ |
(-3)n |
Cette limite n'existe pas car -3<-1.
Exercice 1 tp
Soit (un) une suite numérique définie par
| un = 4 + ( | 1 | )n |
| 2 |
| Calculer | lim +∞ |
(un) |
Correction
lim +∞ |
un - 4 = | lim +∞ |
( | 1 | )n |
| 2 |
Puisque
| -1 < | 1 | < 1 |
| 2 |
alors
lim +∞ |
( | 1 | )n = 0 |
| 2 |
| On a donc | lim +∞ |
(un - 4) = 0 |
| alors | lim +∞ |
(un) = 4 |
Exercice 2 tp
Soit (un) une suite numérique définie par
| un = 3n - 2n |
| Calculer | lim +∞ |
(un) |
Correction
On a
| { | 3 > 1 ⇒ | lim +∞ |
3n = +∞ |
| 2 > 1 ⇒ | lim +∞ |
2n = +∞ |
+∞-∞ est une forme indéterminée. On ne peut pas utiliser directement les Opérations sur les limites mais on doit utiliser autre méthode
lim +∞ |
(un) = | lim +∞ |
3n(1 - | 2n | ) |
| 3n |
| = | lim +∞ |
3n(1 - ( | 2 | )n) |
| 3 |
| Puisque | -1 < | 2 | < 1 |
| 3 |
alors
lim +∞ |
( | 2 | )n = 0 |
| 3 |
Ainsi
lim +∞ |
(1 - ( | 2 | )n) = 1 |
| 3 |
| et donc | lim +∞ |
(un) = | lim +∞ |
3n × 1 |
puisque 3>1 alors
lim +∞ |
(un) = | +∞ |