Exercice 1 tp

Soit (u_n)_n∈IN une suite numérique définie par
u_n+1=2u_n+1 tel que n∈IN et son premier terme u₀=3.
On considère une suite (v_n)_n∈IN définie par
v_n=u_n+1
1) Calculer v₀.
2) Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique dont la raison doit être déterminée.

3) Déterminer v_n en fonction de n.
4) Déduire u_n en fonction de n.
5) Calculer la limite

lim +∞

(un)

Correction

1) On a v_n=u_n+1 donc v₀=u₀+1=3+1=4
2) On montre que (v_n) est une suite géométrique pour cela on détermine v_n+1.

On a v_n=u_n+1 donc v_n+1=u_n+1+1
=(2u_n+1)+1=2(u_n+1).
Puisque u_n+1=v_n alors v_n+1=2v_n
et cela signifie que (v_n) est une suite géométrique de raison q=2
et son premier terme v₀=4.
3) On détermine v_n en fonction de n.
Puisque (v_n) est une suite géométrique
alors v_n=v₀qⁿ ainsi v_n=4x2ⁿ.

4) Puisque v_n=u_n+1 alors u_n=v_n-1
et donc u_n=4x2ⁿ-1.
5) 2>1 donc

lim +∞

2n = +∞

⇒

lim +∞

4.2n - 1 = +∞

ainsi

lim +∞

(un)

= +∞

Exercice 2 tp

Soit (u_n)_n≥1 une suite numérique définie par
u_n+1=-3u_n+4 tel que n∈IN* et u₁=3.
On considère la suite (v_n)_n≥1 définie par
v_n=u_n-1.
1) Calculer v₁.
2) Montrer que (v_n)_n≥1 est une suite géométrique dint la raison doit être déterminée.
3) Déterminer v_n en fonction de n.

4) Déduire u_n en fonction de n.
5) La suite (v_n)_n≥1 admet elle une limite ?

Correction

1) On a v_n=u_n-1 donc v₁=u₁-1=3-1=2.
2) On montre que (v_n) est une suite géométrique pour cela on calcule v_n+1
v_n+1=u_n+1-1=(-3u_n+4)-1
=-3u_n+3=-3(u_n-1)=-3v_n.

On a v_n+1=-3v_n et cela signifie que (v_n)_n≥1 est une suite géométrique de raison -3.
3) Calculons v_n en fonction de n.
(v_n)_n≥1 est une suite géométrique
donc v_n=v₁q^n-1 ou encore v_n=2x(-3)^n-1
donc

vn =	- 2	x(-3)n
	3

4) Puisque v_n=u_n-1 alors u_n=v_n+1 et donc

un =	- 2	x(-3)n + 1
	3

5) -3 < -1 donc la suite ((-3)ⁿ) n'a pas de limite et également la suite.

- 2	x(-3)n + 1
3

n'a pas de limite et donc la suite (u_n)_n≥1 n'a pas de limite.