Rappel
1) (u_n)_n≥p est une suite géométrique de raison q
si u_n+1=qu_n tel que n≥p.

Si u₀ est le premier terme alors u_n=u₀qⁿ
Si u₁ est le premier terme alors u_n=u₁q^(n-1).

2) Soit (u_n)_n≥p une suite géométique.
et S=u_p+u_p+1+ .. +u_n.

n-p+1 est le nombre de termes de la somme S.

Exeercice 1 tp

Soit (u_n)_n≥1 une suite géométrique de raison 3 et u₁=1.
1) Calculer u_n en fonction de n.
2) Calculer la somme S=u₁+u₂+u₃+u₄+u₅.

Correction

1) (u_n)_n≥2 est suite géométique donc u_n=u₁q^n-1
ou encore u₂₁=3+5(21-2)=95+3 et donc u₂₁=98.
2) n-p+1=21-2+1=20 est le nombre de S

ainsi S=121.

Exercice 2 tp

Déterminer la raison d'une suite géométique dont le premier terme est 4 et le second 20.

Correction

Par exemple, nous désignons le premier terme de la suite (u_n)_n≥0 par u₀
on a donc u₀=4 et u₁=20.
Nous savons que la suite est géométrique, donc u_n+1=qu_n tel que q est sa raison
donc u₁=qu₀ ou encore 20=4q
ainsi q=5.

Exercice 3 tp

Soit (u_n)_n≥0 une suite géométique de raison q>0 tel que u₃=75 et u₅=1875
1) Calculer la raison q et le terme u₁.
2) Calculer la somme S=u₀+u₁+..+u₃₀.

Correction

1) On a (u_n)_n≥1 est une suite géométique de raison q
donc u_n=u_pq^n-p tel que 1≤p≤n
u₅=u₃q^5-3 ⇔ 1875=75q² ⇔ q²=25
et puisque q>0 alors q=5.
2) On a u₃=u₁q² ou encore 75=25u₁ ainsi u₁=3.

Exercice 4 tp

Soit (u_n) est une suite géométique dont la raison q=5 et u₀=2
1) Ecrire u_n en fonction de n
2) Déterminer entre les nombres 50, 100 et 250 qui représentent des termes de la suite (u_n).
3) Calculer en fonction de n la somme
S=u₀+u₂+ .. +u_n-1.

Correction

1) (u_n) est une suite géométique donc u_n=u₀qⁿ
et donc u_n=2×5ⁿ.

2) x est un terme de la suite (u_n)
s'il existe un entier naturel n tel que x=2×5ⁿ
(a) 50=2×5ⁿ ⇔ 25=5ⁿ ⇔ 5²=5ⁿ
donc n=2 ainsi 50 est un terme de la suite (u_n).
(b) 100=2×5ⁿ ⇔ 50=5ⁿ
العدد n لا يوجد في IN اذن 100 ليس حدا للمتتالية (u_n).
(c) 250=2×5ⁿ ⇔ 125=5ⁿ ⇔ 5³=5ⁿ
donc n=3 ainsi 250 est un terme de la suite (u_n).

3) (n-1)-0+1=n est le nombre de terme de S