Les suites numériques (3)
Rappel
1) (a) Limites infinies
lim +∞ |
(n²) = ∞ | lim +∞ |
(√(n)) = ∞ | |
lim +∞ |
(n³) = ∞ | lim +∞ |
(np) = ∞ / p∈IN* | |
lim +∞ |
(- n²) = - ∞ | lim +∞ |
(- √(n)) = - ∞ | |
lim +∞ |
(- n³) = - ∞ | lim +∞ |
(- np) = - ∞ / p∈IN* |
(b) Limites finies
lim +∞ |
1 | = 0 | lim +∞ |
1 | = 0 | |
| n | n² | |||||
lim +∞ |
1 | = 0 | lim +∞ |
1 | = 0 | |
| n³ | √(n) |
lim +∞ |
1 | = 0 / p∈IN* |
| np |
2) Propriété
lim +∞ |
(un)n∈I = L ⇔ | lim +∞ |
(un)n∈I - L = 0 |
3) Opérations sur les limites
Soient (un) et (vn) deux suites numériques qui admetent des limites finies en +∞ et k∈IR
lim +∞ |
(un+vn) | = | lim +∞ |
(un) + | lim +∞ |
(vn) |
lim +∞ |
(un × vn) | = | lim +∞ |
(un) × | lim +∞ |
(vn) |
lim +∞ |
k(un) | = k | lim +∞ |
(un) |
De plus si (vn) admet une limite finie et non nulle
lim +∞ |
1 |
= | 1 |
|
| vn | lim +∞ |
(vn) | ||
lim +∞ |
un | = | lim +∞ |
(un) |
| vn | lim +∞ |
(vn) |
Exercice 1 tp
Soit (un) une suite numérique définie par
| un = | - n³ + 2n² |
| n-2 |
| Calculer | lim +∞ |
(un) |
Correction
lim +∞ |
(un) = | lim +∞ |
- n³+ 2n² |
| n-2 |
| = | lim +∞ |
- n²(n-2) | |
| n-2 |
donc
lim +∞ |
(un) = | lim +∞ |
- n² |
ainsi
lim +∞ |
(un) | = - ∞ |
Exercice 2 tp
Soit (un) une suite numérique
| un = 7 + | 1 |
| n³ |
| Calculer | lim +∞ |
(un) |
Correction
Pour calculer la limite de la suite (un) il suffit de calculer la limite de la suite (un-7)
lim +∞ |
(un - 7) = | lim +∞ |
1 | = 0 |
| n³ |
donc
lim +∞ |
(un) = 7 |