1- Définitions et propriétés

1.1 Egalité de deux applications

1.1.1 Définition

Soient E et F deux ensembles et f une relation définie de E vers F.
Si chaque élément de E admet une image et une seule dans F par f alors la relation f est appelée application définie de E vers F.
E est l'ensemble de départ et F est l'ensemble d'arrivé.

Notons qu'une fonction n'est pas forcement une application.

1.1.2 Egalité

Soient f et g deux applications définies de E vers F.
On dit que f et g sont égales
si (∀x∈E): f(x)=g(x).
Notons qu'on a pas signalé le domaine de définition de f et g car D=E.

1.2 Image et image réciproque d’une partie

1.2.1 Image d'une partie

Soient f une application de E vers F et A⊂E.
L'image de la partie A par f est une partie de F, noté f(A)
f(A)={y∈F / (∃x∈A): f(x)=y}.

Exemple
Soient f une relation définie de
E={-2;3;7;9} vers F={2;5;10;50;82}
par f(x)=x²+1 et A={3;7}

1) Montrer que f est une application de E vers F.
2) Déterminer l'image de A par l'application f.

Correction

1) -2∈E et f(-2)=(-2)²+1=5∈F donc -2 admet une seule image dans F.
3∈E et f(3)=3²+1=10∈F donc 3 admet une seule image dans F.
7∈E et f(7)=7²+1=50∈F donc 7 admet une seule image dans F.
9∈E et f(9)=9²+1=82∈F donc 9 admet une seule image dans F.
ainsi chaque élément de E admet une image et une seule par f.
f est donc une application de E vers F.

2) L'image de A par f
on cherche les images des éléments de A par f.
3∈A et f(3)= 10.
7∈A et f(7)=50.
f(A)={10;50} est donc l'image de A par f.

1.2.2 Image réciproque d'une partie

Soient f une application de E vers F et B⊂F.
L'image réciproque de la partie B par f est une partie A de E tel que f(A)=B.
A={x∈E / (∃y∈B): f(x)=y}.