Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie de l'ensemble E=IR⁺ vers l'ensemble F=[-4;+∞[ par
f(x)=x²-4.
1) Montrer que f est une application de E vers F.
2) Déterminer l'image réciproque de la partie B=[0;3] par f.

Correction

1) Soit x∈IR⁺ donc x≥0 ou encore x²≥0 ou encore x²-4≥-4 donc x²-4∈F.

Le nombre x²-4 est unique dans F donc chaque élément de E admet une image et une seule par f
ainsi f est une application de E vers F.
2) L'image réciproque de B par f
on détermine A⊂E tel que f(A)=B. Soit y∈B.
On cherche x dans E tel que y=f(x).
y∈B ⇔ 0≤y≤3 ⇔ 0≤x²-4≤3
⇔ 4≤x²≤7 ⇔ √(4)≤|x|≤√(7) (x≥0)
⇔ 2≤x≤√(7) ⇔ x∈[2;√(7)]
ainsi A=[2;√(7)] est l'image réciproque de B par f.

1.3 Composée de deux applications

1.3.1 Exemple

Soient f et g deux applications définies sur IR comme suit
f(x)=2x-1 et g(x)=x²-3x.
Calculer f(3) puis g(f(3)).
Déterminer g(f(x)).

1.3.2 Définition

Soient f une application définie sur I et g une application définie sur J tel que f(I)⊂J.
La composée de f et g est une application notée gof définie comme suit
(∀x∈I): gof(x)=g(f(x)).

1.4 Restriction et prolongement d’une application

1.4.1 Restriction d'une application

Exemple
Soit f une fonction définie de IR vers IR par f(x)=x².
f est bien une application sur IR.
Si on considère l'application g de IR⁺ vers IR définie par g(x)=x² alors g=f sur IR⁺.
L'application g est appelée restriction de f sur IR⁺.

Notons que g est une application injective mais f n'est pas injective.

Définition
Soit f une application définie de E vers F.
On dit qu'une application est une restriction de l'application f sur un ensemble G si les deux conditions suivantes sont vérifiées
(a) G est une partie de E.
(b) (∀x∈G): g(x)=f(x).

1.4.2 Prolongement d'une application

Exemple
Soit f une fonction définie de IN vers IR par f(x)=x.
f est bien une application sur IN.
Si on considère l'application g de ℤ vers IR telle que g(x)=|x| alors g=f sur IN.
L'application g est appelée prolongement de f sur ℤ.

Définition
Soit f une application définie de E vers F.
On dit qu'une application g est une prolongement de l'application f sur un ensemble H si les deux conditions suivantes sont vérifiées
(a) E est une partie de H.
(b) (∀x∈E): g(x)=f(x).