Exercice 1 tp

Soit f une application définie de l'ensemble
E=[-1;+∞[ vers l'ensemble F=[-2;+∞[
par f(x)=√(x+1)-2.
Montrer que f est une application bijective de E vers F.

Correction

Soit y∈F donc y≥-2 ou encore y+2≥0.
f(x)=y ⇔ √(x+1)-2=y ⇔ x+1=(y+2)²
⇔ x=-1+(y+2)²≥-1 car (y+2)²≥0
donc x existe et est unique dans E ainsi f est bijective de E vers F.

2.4 Application réciproque

2.4.1 Exemple

Soit f une application définie de ℚ vers ℚ par f(x)=x+4.
Montrons que f est bijective.
Soit y∈Q.
y=f(x) ⇔ y=x+4 ⇔ x=y-4.
y∈ℚ ⇔y-4∈ℚ donc x existe et unique dans ℚ alors f est bijective dans ℚ.
On a donc y=f(x)⇔x=y-4.

L'application g définie de ℚ vers ℚ par g(x)=x-4 est la bijection réciproque de f.

2.4.2 Définition

Soit f une application bijection de E vers F.
On appelle bijection réciproque de f une bijection notée f^-1 définie de F vers E par
f^-1(y)=x tel que y∈F ⇔ f(x)=y tel que x∈E.

Exercice 2 tp

Soit f une application définie de E=]-∞;-2] vers F=]-∞;2]
par f(x)=-(x+2)²+2.
Montrer que f est une application bijective de E vers F et déterminer sa bijection réciproque.