2.2 Application surjective

2.2.1 Exemple

Soit f une application définie de IN vers IR par f(x)=x+1

Notons que 0∈IR et n'a pas d'antécédent dans IN car x+1>0.
On dit que l'application f n'est pas surjective.

2.2.2 Définition

Soit f une application d'un ensemble E vers un ensemble F.
On dit que f est une application surjective de E vers F si chaque élément de F admet au moins un antécédent dans E.
En d'autre terme
f est surjective de E vers F ⇔ (∀y∈F)(∃x∈E): y=f(x)
ou encore l'équation f(x)=y d'inconnue x admet au moins une solution dans E.

Exercice 1 tp

Soit f une application définie de l'ensemble E=IR vers l'ensemble
F=[-1;+∞[ par f(x)=x²+2x.
Montrer que f est une application surjective de E vers F.

Correction

Soit (y∈F) (?∃ x∈E)/ f(x)=y.
f(x)=y ⇒ x²+2x=y
⇒ x²+2x+1=y+1 ⇒ (x+1)²=y+1
⇒ |x+1|=√(y+1) (y≥-1⇒y+1≥0)

⇒ x+1=√(y+1) ou x+1=-√(y+1)
⇒ x=-1+√(y+1) ou x=-1-√(y+1)
-1+√(y+1)∈IR et -1-√(y+1) ∈IR
donc y admet au moins un antécédent dans E=IR
alors f est une application surjective de E vers F.
Notons que l'application f n'est pas injective
en effet si on pose y=8 alors 8 admet deux antécédents
2 et -4 c'est à dire f(2)=f(-4)=8 mais 2≠-4.

2.3 Application bijective

2.3.1 Définition

Soient E et F deux ensembles.
Une application injective et surjective est appelée application bijective de E vers F.

Remarque si f est bijective alors f est surjective donc l'équation y=f(x) admet au moins une solution dans E mais f est aussi injective qui exige que chaque élément de F doit avoir au plus un antécédent.

2.3.2 Propriété

Soit f une application de E vers F.
f est bijective de E vers F ⇔ (∀y∈F)(∃!x∈E)/ y=f(x).
En d'autre terme
f est bijective de E vers F si et seulement si l'équation f(x)=y d'inconnue x admet une seule solution dans E.

Exemple
On a déja montré que l'application f
qui'est définie de E=IR vers F=[-1;+∞[ par
f(x)=x²+2x est surjective mais n'est pas injective
donc f n'est pas bijective de E vers F.