1- Division euclidienne ; Nombre premier

1.1 Division euclidienne dans ℤ

1.1.1 Définition

Soient a et b deux entiers relatifs.
Il existe un couple unique (q;r)∈ℤ×IN* tel que b=aq+r tel que 0≤r<|a|.
q ; a ; b et r sont appelés respectivement quotient ; diviseur ; dividende et reste.

Le procédure qui permet de trouver le couple (q;r) est appelée division euclidienne de b par a.

Exemples
1) On pose b=17 et a=5
17=5x3 + 2 donc q=3 et r=2 tel que 0≤2<5.
2) On pose b=-21 et a=7
21=7x3 + 0 donc q=3 et r=0.

Remarque
a divise b si r=0 et on écrit a|b.

1.1.2 Propriété

Soient a et b deux entiets relatifs.
a divise b signifie qu'il existe un entier relatif t tel que b=ta.
En d'autre terme
a|b ⇔ (∃t∈ℤ): b=ta.

1.1.3 Propriétés

Soient a ; b et c des entiers relatifs.
1) a|0 car 0=a.0+0.
2) (∀a∈ℤ): a|a car a=1.a+0.
3) a|b et b|a ⇒ |a|=|b|.
Exemple 3|-3 et -3|3.
4) Transitivité a|b et b|c ⇒ a|c.
5) a|b ⇒ a|bc.
la( réciproque est fausse 3|3x7 mais 3 ne divise pas 7).

1.1.4 Propriété

Soient a ; b et c des entiers relatifs.
a|b et a|c ⇒ (∀(x;y)∈ℤ²): a|xb+yc.

Démonstration
a|b donc (∃k∈ℤ): b=ka.
a|c donc (∃k'∈ℤ): c=k'a.
On a donc xb+yc=xka+yk'a=a(xk+yk')
et puisque xk+yk'∈ℤ alors a|xb+yc.

Exemples
1) 5|15 et 5|10 donc 5|7.15+(-3).10
ou encore 5|8.15+2.10 ..
2) 3|9 et 3|12 donc 3|2.9+4.12
ou encore 3|(-10.9)+7.12 ..

1.1.5 Propriétés

Soient a ; b et c des entiers relatifs.
1) ac|b ⇒ (a|b et c|b).
2) (∀n∈IN*): aⁿ|b ⇒ a|b.

Exemples
1) 20|80 donc 4|80 et 5|80 car 20=4.5.
2) 27|54 et 27=3³ donc 3|54.