1.2 Nombres premiers

1.2.1 Définition

1) Soit a∈ℤ.
a est un nombre premier s'il admet exactement quatre diviseurs distincts -1 ; 1 ; a et -a.
2) Soit a∈IN*.
a est un nombre premier s'il admet exactement deux diviseurs distincts 1 et a.

Exemple
7 est un nombre premier Car les seuls diviseurs de 7 sont 1 et 7.
-1 et -7 sont égalements des diviseurs de 7 dans ℤ.
Les diviseurs de 7 sont donc -7 ; -1 ; 1 et 7.

Remarques
1) a est premier ⇔ |a| est premier.
2) -1;0;1 ne sont pas des nombres premiers.
3) ∀a∈ℤ: (-1|a) et (-a|a) si a≠0.

1.2.2 Propriété

Tout enier n≥2 admet au moins un diviseur premier.

Démonstration
Soient n un entier non premier supérieur strictement à 1 et D l'ensemble des diviseurs premiers du nombre n.
D≠∅ (car n n'est pas premier) et D⊂IN*
donc D est minoré par un nombre noté p tel que 1<p<n et p|n.

On suppose que p n'est pas premier donc (∃q∈IN*): q|p tel que 1<q<p
et puisque p|n alors q|n et cela contraste avec le fait que D est minoré par p donc la supposition est fausse ainsi p est un nombre premier.

1.2.3 Théorème

L'ensemble des nombres premiers est un ensemble infini.

Démonstration
On suppose que l'ensemble des nombres premiers IP={p₁; p₂;...;p_n} est fini.
Soit N= 1+p₁xp₂x...xp_n.
N≥3≥2 donc N admet au moins un diviseur premier noté p.
p|N et p|p₁xp₂x...xp_n
donc p|(N-p₁xp₂x...xp_n) ou encore p|1 et cela contraste avec le fait que p est premier ainsi IP est infini.