4.2 L’ensemble ℤ/nℤ

4.2.1 Introduction

Soit n∈IN*.
(∀x∈ℤ)(∃(q;r)∈ℤ×IN): x=nq+r
ou encore x≡r[n] tel que 0≤r<n
donc r=0 ou r=1 ou r=2 ou .. ou r=n-1.
Autrement dit r∈{0;1;2;..; n-1}.
Prenons un exemple: fixons n=3 donc r∈{0;1;2}.
x≡0[3] ⇔ 3|x ⇔(∃k∈ℤ): x=3k
donc x∈{p∈ℤ / p=3k avec k∈ℤ}.

L'ensemble {p∈ℤ / p=3k avec k∈ℤ} est noté par 0.
x≡1[3] ⇔ 3|(x-1)
donc x∈{p∈ℤ / p=3k+1 avec k∈ℤ}
cet ensemble est noté par 1.
x≡2[3] ⇔ 3|(x-2)
donc x∈{p∈ℤ / p=3k+2 avec k∈ℤ}
Cet ensemble est noté par 2.
Ces ensembles sont appelés des classes d'équivalences pour la congruence modulo 3 dans ℤ. Ils sont tous deux à deux disjoints et leurs unions est l'ensemble ℤ=0 ∪ 1∪2.

L'ensemble des classes d'équivalences pour la congruence modulo 3 est noté par ℤ/3ℤ.
ℤ/3ℤ={0;1;2}.

4.2.2 Définitions

Soit n∈IN*
1) Une classes d'équivalence pour la congruence modulo n dans ℤ est l'ensemble des entiers relatifs qui ont le même reste r dans la division euclidienne par n. Cette classe est notée par
r={x∈ℤ / x≡r[n]}={r+kn / k∈ℤ}.

2) L'ensemble des classes d'équivalences pour la congruence modulo n dans ℤ est noté par ℤ/nℤ.
ℤ/nℤ={0 ; 1 ; 2 ; ... ; n-1} avec n≥2
ainsi ℤ=0∪1∪2∪ ... ∪ n-1 avec n≥2.

4.2.3 Exemple

Fixons n=4 donc ℤ= 0∪1∪2∪3.
0={x∈ℤ/ x=4k avec k∈ℤ}.
1={x∈ℤ/ x=4k+1 avec k∈ℤ}.
2={x∈ℤ/ x=4k+2 avec k∈ℤ}.
3={x∈ℤ/ x=4k+3 avec k∈Z}.

Remarque (4= 0 ; 5= 1 ; 75= 3 ; ...)

4.3 Opérations dans ℤ/nℤ

4.3.1 Propriétés

Compatibilité de la congruence
avec la somme et le produit
Soient n∈IN* ; (x;y)∈ℤ² et (u;v)∈ℤ².
1) x≡y[n] et u≡v[n] ⇒ x+u≡y+v[n] et xu≡yv[n].
2) x≡y[n] et u≡v[n] ⇒ x-u≡ y-v[n].
3) x≡y[n] ⇔ x+u≡y+u[n].
4) x≡y[n] ⇒ vx≡vy[n].

Remarque La réciproque n'est pas toujours vraie.
Contre exemple 3x5≡3x4[3] mais 5≢4[3].

5) x≡y[n]; p∈IN* ⇒ x^p≡y^p[n]

Exemples
1) 18≡4[7] et 33≡5[7]
donc 18+33 ≡ 4+5[7]
ou encore 51≡9[7] (7|51-9)
et on a 18×33≡4×5[7]
ou encore 594≡20[7] (7|594-20).

2) 8≡-7[5] et 29≡4[5]
donc 8+29≡-7+4[5] ou encore 37≡-3[5]
8x29≡-7x4[5] donc 232≡-28[5].

4.3.2 Rappel

Soient n∈IN* ; (x;x')∈ℤ² et (u;u')∈ℤ².
x≡u[n]⇒x∈ū et x'≡u'[n] ⇒ x'∈ū'.
On peut écrire x+x'∈ū+ū'
et comme x+x'≡u+u'[n] alors x+x'∈u+u'.

4.3.3 Propriétés

Soient n∈IN* ; u ; v ∈ℤ/nℤ.
1) u + v = u + v.
2) u x v = u x v.

4.3.4 Exemples

Posons n=7.
(a) 4 + 5 = 4 + 5 = 9 = 2.

(b) 2 x 4 = 2 x 4 = 8 = 1.