Exercice 1 tp

Montrer dans ℤ/5ℤ

1) 88=3.

2) 119=4.

3) 140=0.

Correction

1) 88-3=85
85=5×17 et cela signifie que 5|85 donc 88-3=0 ainsi 88=3.
2) 119-4 = 115
115=5×23 et cela signifie que 5|115
donc 119-4=0 ainsi 115=4.
3) 5|140 donc 140=0.

Exercice 2 tp

Résoudre dans ℤ/5ℤ l'équation suivante
3x=2.

Correction

On a ℤ/5ℤ={0;1;2;3;4}.
On utilise le tableau de la congruence modulo 5.

x	0	1	2	3	4
3x	0	3	1	4	2

1) 3x=2 ⇔ x=4 donc S={4}.

Exercice 3 tp

Résoudre dans ℤ/5ℤ l'équation suivante
x⁴=1.

Correction

On a ℤ/5ℤ={0;1;2;3;4}.

x	0	1	2	3	4
x4	0	1	1	1	1

x⁴ =1⇔ x=1 ou x=2 ou x=3 ou x=4
donc S={1;2; 3;4}.

Exercice 4 tp

Résoudre dans ℤ/5ℤ l'équation suivante
x²+2x- 3 = 0.

Correction

On a ℤ/5ℤ={0; 1;2;3;4}.

x	0	1	2	3	4
x²	0	1	4	4	1
2x	0	2	4	1	3
x²+2x-3	2	0	0	2	1

x²+2x-3 = 0 ⇔x=1 ou x=2
donc S={1;2 }.

Exercice 5 tp

Résoudre dans ℤ/4ℤ l'équation 2x=0.

Correction

On peut utiliser le tableau de la congruence modulo 4

x	0	1	2	3
2x	0	2	0	2

donc S={0;2}.

Remarque
2x=0⇏ x=0.