تمرين 9 tp

ليكن a=137 ; b=123 ; n=7
بين ان 137 ≡123[7].

تصحيح

لدينا 137=19.7+4 ; 0≤r=4< 7
و 123=17.7+4 ; 0≤r'=4< 7
اذن a و b لهما نفس الباقي في القسمة الاقلدية على 3
وبالتالي 137≡123[7]
وبالاضافة الى ذلك فان 137≡123≡4[7]

تمرين 10 tp

نضع n=17 اوجد مقلوبا للعدد 4

تصحيح

نرمز لمقلوب 4 ب x
4.x≡1[17] يكافئ E: 4x-17k=1; k∈Z
17=4.4+1 يكافئ 17-4.4=4.(-4)-17(-1)=1
(-4;-1) حل خاص للمعادلة E اذن يكفي اخذ x=-4 الذي هو بالفعل مقلوبا ل 4 بالتوافق بترديد 17

تمرين 11 tp

بين انه 7 | 594²⁰

تمرين 12 tp

حل في المجموعة ℤ/5ℤ المعادلات التالية
1) 3x =2
2) x⁴ = 1
3) x²+2x- 3 = 0

تصحيح

لدينا ℤ/5ℤ={0; 1;2;3;4}
نستعمل جدول الموافقة بترديد 5

x	1	2	3	0	4
3x	0¯	¯3	¯1	¯4	¯2
x4	¯0	¯1	¯1	¯1	¯1
x²+2x-3	-3¯	¯0	¯0	¯2	¯1

1) 3x =2 ⇔ x=4
اذن S={4}
2) x⁴ =1⇔ x=1 او x=2 او x=3 او x=4
اذن S={1;2; 3;4}
3) x²+2x-3 = 0 ⇔x=1 او x=2
اذن S={1;2 }

تمرين 13 tp

حل في ℤ/9ℤ المعادلة 3.x=3

تصحيح

نستعمل جدول الموافقة بترديد 9

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8
3x	0	3	6	0	3	6	0	3	6

اذن S={1;4;7}

تمرين 14 tp

ليكن n∈IN باستعمال الموافقة بين ان n(n+1) عددا زوجيا

تصحيح

يمكن انجاز هذا السؤال بفصل الحالات (اذا كان n زوجيا والحالة اذا كان n فرديا)
سنقوم بنفس الطريقة ولكن باستعمال الموافقة بترديد 2
ℤ/2ℤ={0 ; 1}
للتذكير ℤ=0∪1, 0={x∈IN/ x=2k; k∈IN} وهذه بالضبط مجموعة الاعداد الزوجية
و 1={x∈IN / x=1+2k; k∈IN} مجموعة الاعداد الفردية

نعود الى السؤال للبرهنة على ان n(n+1) زوجيا يكفي ان نبين ان 2|n(n+1) اي n(n+1)≡0[2]
لدينا n∈IN اذن اذا كان n∈0 فان 0.(0+1)=0 عدد زوجي
واذا كان n∈1 فان 1.(1+1)=2 هو ايضا عدد زوجي
وبالتالي ∀n∈IN: n(n+1) عدد زوجي

تمرين 15 tp

حل في Z المعادلة 5x≡10[37]

تصحيح

نبحث عن مقلوب للعدد 5 بترديد 37 اي نبحث عن u بحيث 5.u≡1[37]
باستعمال خوارزمية اقليدس

37=7.5+2
5=2.2+1 اذن 1=5-2.2=5-2.(37-7.5)=15.5-2.37
اذن 15.5≡1[37]
لدينا من جهة 15.5.x=1.x[37] ومن جهة اخرى 15.5.x=15.10[37]
وباستعمال العلاقة المتعدية فان x=150[37]
ونعلم ان 150>37 اذن يمكن الاختزال
150=4.37+2 اذن x≡2[37]
وبالتالي S={2+37k; k∈Z}

تمرين 16 tp

لتكن a=137 ; b=123 ; n=7.
بين ان 137≡123[7]

تصحيح

لدينا 137=19.7+4 حيث 0≤r=4< 7
و 123=17.7+4 حيث 0≤r'=4< 7
اذن a و b لهما نفس الباقي في القسمة الاقليدية على 3
ومنه فان 137≡123[7]
بالاضافة الى ذلك فان 137≡123≡4[7]

تمرين 17 tp

ليكن a=537 ; b= 312; n=23
بين ان 537 ≢ 312[23]

Correction

لدينا 537=23.23+8 بحيث 0≤r=8< 23
و 312=13.23+13 بحيث 0≤r'=13< 23
اذن a و b ليس لهما نفس الباقي في القسمة الاقليدية
وبالتالي 537 ≢ 312[23]