تمرين 18

ليكن n عددا طبيعيا
حدد قيمة n بحيت n+9|n+28

تصحيح

n+9|n+28⇔∃k∈IN*, n+28=k(n+9)
⇔∃k∈IN*,19=(k-1)(n+9)
k∈IN*⇔k-1∈IN
اذن n+9|19
19 عدد اولي اذن
n+9=1 ∨ n+5=19 ∨ n+9=-1 ∨ n+9=-19
اذن
n=-8∉IN ∨ n=14 ∨ n=-10∉IN ∨ n=-28∉IN
وبالتالي n=14

تمرين 19 tp

ليكن n∈IN
حدد جميع قيم n بحيث 7|n²+2n-8

تصحيح

لدينا n²+2n-8=n²+2n-15+7
=(n+5)(n-3)+7
ولدينا ايضا 7|n²+2n-8 اذن n²+2n-8=7k; k∈IN*
ومنه فان (n+5)(n+3)=7(k-1), (k-1)∈IN
اذن 7|n+5 ∨ 7|n-3
يعني n≡-5[7] ∨ n≡3[7]
وبالتالي n≡2[7] ∨ n≡3[7]

تمرين 20 tp

ليكن n∈IN
نضع x= n²+3n+2 و y= n²+4n+3
1) بين ان (n+1 | x) ∧ (n+1 | y)
2) نضع z= 5x+3
(q1) حدد جميع قيم n حيث n+1 | z
(q2) بين ان ∀n∈IN, y ∤ z

تصحيح

1) لدينا x-(n+1)=n²+2n+1=(n+1)²
اذن x=(n+1)(n+2)
وهذا يعني ان (n+1) | x
وكذلك
y=(n+1)(n+3) اذن (n+1) | y

2) (q1) لدينا (n+1 | x) و (n+1 | 5x+2)
⇒ (n+1) | ((5x+2)-5x)
⇒ (n+1) | 2
ملاحظة استعملنا الخاصية
(x | a) ∧ (x | b) ⇒ x | (ua + v b) , (u; v∈ℤ)
لدينا (n+1) | 3 اذن (n+1 = 1) ∨ (n+1 = -1)
∨ (n+1 = 3) ∨ (n+1 = -3)
اي (n = 0) ∨ (n=-2) ∨ (n=2) ∨ (n=-4)
وبما ان n∈IN فان n=0 ∨ n=2
(q2) بما ان (n+1) | z الا اذا كان n=0 ∨ n=2
اذن ∀n∈IN\{0;2}, y ∤ z
بالاضافة الى ذلك اذا كان n=0 فان y=4 و z=5.2+3=13 و 4 ∤ 13
واذا كان n=2 فان y=15
و z=5.12+3=63 و 15 ∤ 63
وبالتالي ∀n∈IN, y ∤ z

تمرين 21 tp

ليكن n∈IN
بين ان 7²ⁿ⁺³ - 5²ⁿ⁺² ≡ 0[3]

تصحيح

i1) لدينا من جهة اولى
7²ⁿ⁺³ = 343.(49ⁿ)
و 5²ⁿ⁺² = 25.(25ⁿ)
وبما ان 3 | 24 اي 3 | (49-25)
فان 49 ≡ 25 [3]
⇒ ∀n∈IN, (49)ⁿ ≡25ⁿ [3]
اي 7²ⁿ ≡ 5²ⁿ [3]

i2) ومن جهة اخرى
343-25=318 وبما ان 3 | 318
فان 343 ≡ 25 [3]
i3) لدينا اذن

{	72n ≡ 52n [3]	⇒ 343.52n ≡ 25.52n [3]
	343 ≡ 25 [3]

ومنه فان 7²ⁿ⁺³ - 5²ⁿ⁺² ≡ 0[3]
للتذكير
1) a;b;c;d∈ℤ;p∈IN*:
a≡b [p] ⇒ aⁿ≡bⁿ [p] , n∈IN*
2) (a≡b [p]) ∧ (c≡d [p]) ⇒ a.c≡b.d [p]

تمرين 22 tp

ليكن n∈IN
بين ان 11 | (5³ⁿ⁺¹ - 3⁴ⁿ⁺³)

تصحيح

1) لدينا من جهة اولى
5³ⁿ⁺¹ = 5.(125)ⁿ
و 3⁴ⁿ⁺³ = 27.(81)ⁿ
وبما ان 11 | 44 اي 11 | (125-81)
فان 125 ≡ 27 [11]
⇒ ∀n∈IN, (125)ⁿ ≡ 81ⁿ [11]
اي 5³ⁿ ≡ 3⁴ⁿ [11]

2) ومن جهة اخرى
5-27=-22 وبما ان 11 | -22 فان
5 ≡ 27 [11]
3) خلاصة

{	53n ≡ 34n [11]	⇒ 5.53n ≡ 27.34n [11]
	5 ≡ 27 [11]

ومنه فان 5³ⁿ⁺¹ - 3⁴ⁿ⁺³ ≡ 0[11]
وبالتالي 11 | 5³ⁿ⁺¹ - 3⁴ⁿ⁺³

Exercice 23 tp

ليكن n∈IN
بين ان 5 | (3³ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺²)