Exercice 1 tp

Résoudre dans ℤ/4ℤ l'équation 2x=0.

Correction

On peut utiliser le tableau de la congruence modulo 4.

donc S={0;2}
Remarque
2x=0⇏ x=0.

Exercice 2 tp

Résoudre dans ℤ/5ℤ les équations suivantes
1) 3x =2.
2) x⁴ = 1.
3) x²+2x- 3 = 0.

Correction

On a ℤ/5ℤ={0; 1;2;3;4}
on peut utiliser le tableau de la congruence modulo 5.

1) 3x =2 ⇔ x=4
donc S={4}.

2) x⁴ =1⇔ x=1 ou x=2 ou x=3 ou x=4
donc S={1;2; 3;4}.

3) x²+2x-3 = 0 ⇔x=1 ou x=4
donc S={1;4}.

Rappel -3=2.

Exercice 3 tp

Soit n∈IN.
Montrer que n(n+1) est un nombre pair.

Correction

Cette question peut être accomplie par disjonction des cas (le cas n pair et le cas n impair)
on fera de même en utilisant la congruence modulo 2
ℤ/2ℤ={0 ; 1}.

Rappel ℤ=0∪1, 0={x∈IN/ x=2k; k∈IN} cet ensemble est exactement l'ensemble des nombres pairs
et 1={x∈IN / x=1+2k; k∈IN} est l'ensemble des nombres impairs
il suffit donc de montrer que 2|n(n+1)
ou encore n(n+1) ≡ 0[2]
on a n∈IN donc si n∈0 alors 0x(0+1)=0 est un nombre pair
et si n∈1 alors 1x(1+1)=2 est également un nombre pair
ainsi ∀n∈IN: n(n+1) est pair.

Exercice 4 tp

Résoudre dans ℤ l'équation 5x≡10[37].

Correction

On cherche un inverse de 5 pour la congruence modulo 37
c'est à dire on cherche u tel que
5u≡1[37].

On utilise l'Algorithme d'Euclide.
37=7.5+2
5=2.2+1 donc 1=5-2.2=5-2.(37-7.5)
=15.5-2.37
ainsi 15.5≡1[37]
on a d'une part 15.5.x≡1.x[37]
et d'autre part 15.5.x≡15.10[37]
et par transitivité x≡150[37]
et puisque 150 > 37 on peut simplifier
150=4.37+2 donc x≡2[37]
alors S={2+37k; k∈Z}.