Exercice 1 tp

Soient a=137 ; b=123 ; n=7.
Montrer que 137≡123[7].

Correction

On a 137=19.7+4 tel que 0≤r=4<7
et 123=17.7+4 tel que 0≤r'=4<7
donc a et b ont le même reste dans la division euclidienne
ainsi 137≡123[7]
de plus 137≡123≡4[7]
Notons que si a=bq+r tel que 0≤r<|b|
alors a∧b=b∧r.

Exercice 2 tp

Soient a=537 ; b= 312; n=23.
Montrer que 537≢312[23].

Correction

On a 537=23.23+8 tel que 0≤r=8<23
et 312=13.23+13 tel que 0≤r'=13<23
donc a et b n'ont pas le même reste dans la division euclidienne
ainsi 537≢312[23].

Exercice 3 tp

Soit n∈IN.
Déterminer la valeur de n
sachant que n+9|n+28.

Correction

n+9|n+28 ⇔( ∃k∈IN*): n+28=k(n+9)
⇔ (∃k∈IN*): 19=(k-1)(n+9)
k∈IN* ⇔ k-1∈IN
donc n+9|19.

19 est un nombre premier
donc (n+9=1) ou (n+5=19) ou (n+9=-1) ou (n+9=-19)
ainsi (n=-8∉IN) ou (n=14) ou (n=-10∉IN) ou (n=-28∉IN)
alors n=14.

Exercice 4 tp

Soit n∈IN.
Déterminer toutes les valeurs de n
sachant que 7|n²+2n-8.

Correction

n²+2n-8=n²+2n-15+7=(n+5)(n-3)+7.
On a 7|n²+2n-8 donc n²+2n-8=7k tel que k∈IN*
ainsi (n+5)(n+3)=7(k-1) tel que (k-1)∈IN
donc (7|n+5) ou (7|n-3)
ou encore (n≡-5[7]) ou (n≡3[7])
ainsi (n≡2[7]) ou (n≡3[7]).

Exercice 4 tp

Soit n∈IN.
On pose x= n²+3n+2 et y= n²+4n+3.
1) Montrer que (n+1|x) et (n+1|y).
2) On pose z= 7x+3.
(a) Déterminer toutes les valeurs de n de façon que n+1|z.
(b) Montrer que (∀n∈IN): y ne divise pas z.

Correction

1) On a x-(n+1)=n²+2n+1=(n+1)²
donc x=(n+1)(n+2)
cela signifie que (n+1)|x.

De la même façon on a
y=(n+1)(n+3) donc (n+1)|y.
2) (a) On a (n+1|x) et (n+1|7x+3)
⇒ (n+1)|(7x+3)-7x
⇒ (n+1)|3
Notons qu'on a utilisé la propriété suivante
(x|a) et (x|b) ⇒ x|(ua+vb) tel que (u;v∈ℤ).

On a (n+1)|3
donc (n+1=1) ou (n+1=-1)
ou (n+1=3) ou (n+1=-3).
ou encore (n=0) ou (n=-2) ou (n=2) ou (n=-4)
et puisque n∈IN alors n=0 ou n=2.
(b) (n+1)|z si n=0 ou n=2
donc (∀n∈IN\{0;2}): y∤z
de plus si n=0 alors y=3.
z=7.2+3=17 et 3∤17 et si n=2 alors y=15.
z=7.12+3=87 et 15∤87
et par conséquent (∀n∈IN): y∤z.