Exercice 1 tp

Soit n∈IN.
Montrer que 7²ⁿ⁺³-5²ⁿ⁺²≡0[3].

Correction

(a) D'une part
7²ⁿ⁺³=343.(49ⁿ)
et 5²ⁿ⁺²=25.(25ⁿ)
et puisque 3|24 ou encore 3|(49-25)
alors 49≡25[3].

ainsi (∀n∈IN): (49)ⁿ≡25ⁿ[3]
ou encore 7²ⁿ≡5²ⁿ[3].
(b) D'autre part
343-25=318 et puisque 3|318
alors 343≡25[3].
(c) On a donc

{	72n≡52n [3]	⇒ 343.52n≡25.52n[3]
	343≡25[3]

ainsi 7²ⁿ⁺³-5²ⁿ⁺²≡0[3].
Notons que a;b;c;d∈ℤ et p∈IN*.
1) a≡b[p] ⇒ aⁿ≡bⁿ[p] tel que n∈IN*.
2) (a≡b[p]) et (c≡d[p]) ⇒ a.c≡b.d[p].

Exercice 2 tp

Soit n∈IN.
Montrer que 11|(5³ⁿ⁺¹-3⁴ⁿ⁺³).

Correction

1) D'une part
5³ⁿ⁺¹=5.(125)ⁿ
et 3⁴ⁿ⁺³=27.(81)ⁿ

Puisque 11|44 ou encore 11|(125-81)
alors 125≡27[11]
et donc (∀n∈IN): (125)ⁿ≡81ⁿ[11]
ou encore 5³ⁿ≡3⁴ⁿ[11].
2) D'autre part
5-27=-22 et puisque 11|-22
alors 5≡27[11].

3) On a donc

{	53n≡34n[11]	⇒ 5.53n≡27.34n[11]
	5≡27[11]

ainsi 5³ⁿ⁺¹-3⁴ⁿ⁺³≡0[11]
alors 11|5³ⁿ⁺¹-3⁴ⁿ⁺³.

Exercice 3 tp

Soit n∈IN.
Montrer que 5|(3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²).