Le barycentre dans le plan (4)
2- Propriété caractéristique du barycentre
2.1 barycentre de deux points
2.1.1 Théorème
Un point G est le barycentre de deux points pondérés (A;a) et (B;b)
si et selement si tout point M du plan
aMA→ + bMB→=(a+b)MG→.
Démonstration utilisons la relation de chasles.
aMA→+bMB→=(a+b)MG→
⇔ aGA→+bGB→=O→.
2.1.2 Résultat
Soit G un point du plan.
G est le barycentre de deux points pondérés (A;a) et (B;b) signifie
| AG→ = | b | AB→ |
| a+b | ||
| ⇔ BG→ = | a | BA→ |
| a+b |
Remarque Le résultat 2.1.2 permet de tracer le barycentre de deux points.
Exemple
G est barycentre de (A;1) et (B;3) ⇔
| AG→ = | 3 | AB→ |
| 4 | ||
| ⇔ BG→ = | 1 | BA→ |
| 4 |
| A . | --- | --- | --- | . G | --- | . B |
|---|
2.2 Barycentre de trois points
2.2.1 Théorème
Le point G est le barycentre des points pondérés (A;a) ; (B;b) et (C;c)
si et selement si tout point M du plan
aMA→+bMB→+cMC→
=(a+b+c) MG→.
2.2.2 Résultat
On pose M=A
| AG→ = | b | AB→ + | c | AC→ |
| a+b+c | a+b+c | |||
de même on pose M=B ou M=C
| BG→ = | a | BA→ + | c | BC→ |
| a+b+c | a+b+c | |||
| CG→ = | a | CA→ + | b | CB→ |
| a+b+c | a+b+c | |||
2.3 barycentre de quatre points
2.3.1 Théorème
Le point G est le barycentre des points pondérés (A;a); (B;b); (C;c) et (D;d)
si et selement si tout point M du plan
aMA→+ bMB→+cMC→+dMD→=
(a+b+c+d)MG→.
2.3.2 Résultat
On pose M=A
| AG→= | b | AB→ + | c | AC→ |
| a+b+c+d | a+b+c+d | |||
| + | d | AD→ | ||
| a+b+c+d | ||||