3- associativité

3.1 Barycentre de 3 points

Soit G le barycentre des points pondérés (A;a) ; (B;b) et (C;c).
Si H est le barycentre de (A,a) ; (B;b) (a+b≠0) alors G est le barycentre des points pondérés (H;a+b) et (C;c).
De même si K est le barycentre de (A;a) et (C;c) (a+c≠0) alors G est le barycentre des points pondérés (K;a+c) et (B;b).

Ou encore si L est le barycentre de (B;b) et (C;c) (b+c≠0).
alors G est le barycentre des points pondérés (L;b+c) et (A;a).

3.1.1 Propriété

Le barycente de trois points ne change pas si on remplace deux points par leur barycentre s'il existe.

Exercice 1 tp

Tracer G le barycentre des points pondérés (A;-1) ; (B;3) et (C;1).

Correction

Les deux points pondérés (A,-1) et (C,1) n'ont pas de barycentre
car -1+1=0 donc on ne peut pas appliquer la propriété d'association aux points A et C.
Les points pondérés (A;-1) et (B;3) admettent un barycentre noté H car -1+3=2≠0.

Donc G est le barycentre des points pondérés (H;2) et (C;1).

Remarque 1 on peut appliquer également la propriété d'association aux points B et C car 3+1=4≠0.
Remarque 2 pour tracer le point G il suffit de tracer les points H et C.

H est le barycentre de (A;-1) ; (b;3) ⇔
(∀M): -MA^→+3MB^→=(-1+3)MH^→
⇔ (∀M): -MA^→+3MB^→=2MH^→.
On pose M=B
donc -BA^→=2BH^→ ⇔

On a
(∀M): -MA^→+3MB^→+MC^→=3MG^→
⇔ 2MH^→+MC^→=3MG^→
on pose M=H donc
HC^→=3HG^→
ainsi