4- Coordonnées du barycentre

4.1 barycentre de 2 points

4.1.1 Rappel

G est le barycentre de (A;a) et (B;b)
⇔ (∀M∈P): aMA^→+bMB^→=(a+b)MG^→.
En posant M=O on obtient

4.1.2 Propriété

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B).
Le point G(x_G;y_G) est le barycentre des points pondérés (A;a) et (B;b) signifie

Exemple
Le plan ℙ est rapporté au repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ deux points A(-1;5) et B(3;4).
1) Montrer que (A;2) et (B;8) admettent un barycentre G.
2) Déterminer G(x_G;y_G).

Correction
1) 2+8=10≠0 donc A et B admettent un barycentre G.

2) Coordonnées de G

donc G(2,2 ; 5,2).

4.2 Barycentre de 3 points

4.2.1 Propriété

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ le barycentre G(x_G;y_G) des points pondérés (A;a) ; (B;b) ; (C;c) tels que A(x_A;y_A) ; B(x_B;y_B) et C(x_C;y_C).

4.2.2 Exemple

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ les points A(1;2); B(3;1); C(2;5) et D.
1) Est ce que les points (B;-4); (C;7); (D;-3) admettent un barycentre G ?
2) Montrer que (A;-2) ; (B;4); (C;3) admettent un barycentre G.
3) Déterminer G(x_G;y_G).

Correction

1) -4+7-3=0 donc (B;-4); (C;7) et (D;-3) n'admettent pas de barycentre.
2) -2+4+3=5≠0 donc (A;-2) ; (B;4) et (C;3) admettent un barycentre G.
3) Coordonnées de G

4.3 Barycentre de 4 points

Propriété

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ les points A(x_A;y_A) ; B(x_B;y_B) ; C(x_C;y_C) et D(x_D;y_D).
G(x_G;y_G) est le barycentre de (A;a); (B;b); (C;c); (D;d) signifie