3.2 Barycentre de 4 points

Soit G le barycentre des points pondérés (A,a) ; (B,b) ; (C;c) et (D;d).
Si (par exemple) H est le barycentre de (A,a) et (B,b) (a+b≠0) et k est le barycentre de (C,c) et (D,d) (c+d≠0) alors G est le barycentre de (H,a+b) et (K;c+d).

3.2.1 Propriété

Le barycente de quatre points ne change pas si on remplace deux points (ou trois points) par leur barycentre s'il existe.

Exercice 1 tp

Tracer G le barycentre de (A;2) ; (B;-2) ; (C;1) et (D;2).

Correction

2+(-2)+1+2=3≠0 donc le point G existe.
G est le barycentre de (A;2) ; (B;-2) ; (C;1) et (D;2) signifie tout point M du plan P
2MA^→+2MD^→-2MB^→+MC^→=3MG^→.
(A,2) et (B,-2) n'ont pas de barycentre car 2-2=0 donc on ne peut pas appliquer la propriété d'association aux points A et B.

Tandis que (A;2) et (D;2) ont un barycentre noté H (car 2+2=4≠0) ainsi G est le barycentre des points pondérés (H;4) ; (B;-2) et (C;1).

Remarque 1 On peut appliquer également la propriété d'association aux points B et C car -2+1=-1≠0
donc admettent un barycentre, noté T
ainsi G est le barycentre de (H;4) et (T;-1).
Remarque 2 Pour tracer le point G il suffit de tracer les points H et T.

H est le barycentre de (A;2) et (D;2)
⇔ (∀M∈P): 2MA^→+2MD^→=4MH^→
⇔ (∀M∈P): MA^→+MD^→=2MH^→
donc H est le milieu du segment [AD].
T est le barycentre de (B;-2) ; (C;1)
⇔ (∀M∈P): -2MB^→+MC^→=-MT^→.
En posant M=B on obtient BT^→=-BC^→.
On a 2MA^→+2MD^→-2MB^→+MC^→=3MG^→
⇔ 4MH^→-MT^→=3MG^→.

En posant M=H on obtient -HT^→=3HG^→.

Ainsi HG→ = -	1	HT→
	3

3.2.3 Exemple 2

Tracer G barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1).

Correction

On a
(∀M∈P): MA^→+MB^→+MC^→-MD^→=2MG^→.
Les points A ; B et C sont des points affectés par le même coefficient donc ils admettent un centre de gravité noté H
ainsi (∀M∈P): MA^→+MB^→+MC^→=3MH^→

Soit I milieu du segment [BC]

AH→ =	2	AI→
	3

G est le barycentre de (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1) signifie que
G est le barycentre de (H;3) et (D;-1)
ou encore (∀M∈P): 3MH^→-MD^→=2MG^→.
En posant M=H on obtient -HD^→ = 2HG^→

ainsi HG→ = -	1	HD→
	2