4- Equations différentielles (E) y"+a²y=0

4.1 Definition et propriété

4.1.1 Définition

Soient f une fonction dérivable double sur I et w∈IR.
On désigne par y à la fonction f
par y' à la fonction dérivée f'
et par y" à la fonction dérivée seconde f".
L'équation y"+w²y=0 est appelée équation différentielle de second degré.

Exemples
y"+4y=0 et y"+7y=0 sont des équations différentielles de second degré.

4.1.2 Propriété

Soit (E): y"+w²y=0 l'équation différentielle avec w≠0.
La solution générale de l'équation (E)
est l'ensemble des fonctions y définies comme suit
y(x)=αcoswx+βsinwx tels que α∈IR et β∈IR.

Exemple 1
Résoudre l'équation différentielle (E): y"+5y=0.

Correction
w²=5 donc w=√5 ou w=-√5
ainsi l'nsemble de solution de l'équation (E) est l'ensembles des fonctions y définies par (∀x∈IR)
y(x)=αcos(√5)x+βsin(√5)x tels que α∈IR et β∈IR.
Notons qu'on peut prendre w=-√5 et on obtient le même résultat.

Exemple 2
Résoudre l'équation différentielle
(E): 2y"+8y=0.

Correction
on a 2y"+8y=0⇔y"+4y=0 donc w²=4 ou encore w=2 ou w=-2
ainsi l'ensemble des solutions de l'équation (E) est l'ensembles des fonctions y définies par (∀x∈IR)
y(x)=αcos2x+βsin2x tels que α∈IR et β∈IR.

4.2 Solution particulière de l'équation (E)

4.2.1 Exemple 1

1) Résoudre l'équation différentielle
(E): y"+4y=0.
2) Déterminer la solution f de l'équation (E) qui vérifie les conditions

Correction
1) L'ensemble des solutions de l'équation (E) est l'ensemble des fonctions y définies par (∀x∈IR)
y(x)=αcos2x+βsin2x tels que α∈IR et β∈IR.
2) f est une solution de l'équation donc elle s'écrit sous la forme f(x)=αcos2x+βsin2x
f(0)=2 ⇒ α=2.

donc β=1 ainsi f(x)=2cos2x+sin2x.

Remarque
La solution générale de l'équation y"+w²y=0 peut s'écrire sous la forme y(x)=acos(wx-φ) tels que a∈IR et φ∈IR.

4.2.2 Exemple 2

1) Résoudre l'équation différentielle (E): y"=0.
2) Déterminer la solution f de (E) qui vérifie les conditions f(1)=2 et f'(0)=-3.

Correction
1) y"=0⇔(y')'=0⇔(y')=a (a∈IR)
⇔y=ax+b (a∈IR et b∈IR).

L'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions f définie par f(x)=ax+b.
2) On a f(x)=ax+b et f(1)=2 donc a+b=2
f'(x)=a et f'(0)=a=-3 donc b=2-(-3)=5
ainsi f(x)=-3x+5.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=kcos(-3x+θ).
Montrer que f est une solution de l'équation différentielle y"+9y=0.