Dérivation (12)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x²+x-1 |
| 2x-2 |
1) Calculer les limites suivantes.
lim -∞ | f(x) | lim +∞ | f(x) | |
lim 1- | f(x) | lim 1+ | f(x) |
2) Etudier les variations de f et déduire ses extremums.
Correction
1) D={x∈IR/ 2x-2≠0}
=]-∞;1[∪]1;+∞[.
(a) Limite en -∞ et en +∞
lim -∞ | f(x) = | lim -∞ | x² | = | lim -∞ | 1 | x | = -∞ |
| 2x | 2 |
lim +∞ | f(x) = | lim +∞ | x² | = | lim +∞ | 1 | x | = +∞ |
| 2x | 2 |
(b) Limite en 1- et en 1+
pour cela on étudie le signe de 2x+2.
| x | -∞ | 1 | +∞ | ||
| 2x+2 | - | || | + |
| lim 1- | f(x) | = | lim 1- | x²+x-1 | = | 1 | = -∞ |
| 2x-2 | 0- |
| lim 1+ | f(x) | = | lim 1+ | x²+x-1 | = | 1 | = +∞ |
| 2x-2 | 0+ |
2) f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D=IR\{1}. Soit x∈D
| f'(x) = | (x²+x-1)'(2x-2)-(2x-2)'(x²+x-1) | |
| (2x-2)² | ||
| = | (2x+1)(2x-2)-2(x²+x-1) | |
| (2x-2)² |
| = | 2x²-4x |
| (2x-2)² |
| donc | f'(x) = | x²-2x |
| 2(x-1)² |
Signe de f'(x). Soit x∈IR
f'(x)=0⇔ x²-2x=0
⇔ x(x-2)=0
⇔ (x=0 ou x=2).
Le trinôme x²-2x est de signe de a=1>0 à l'exterieur de ses racines et de signe contraire de a à l'interieur de ses racines.
| x | -∞ | 0 | 1 | 2 | +∞ | |||||
| f'(x) | + | 0 | - | - | 0 | + | ||||
f est strictement croissante
sur ]-∞;0] et sur [2;+∞[ et strictement décroissante
sur [0;1[ et sur ]1;2].
Tableau de variations de f
| x | -∞ | 0 | 1 | 2 | +∞ | |||||
| f'(x) | + | 0 | - | - | 0 | + | ||||
| f | -∞ | ↗ | 0,5 | ↘ | -∞ |
+∞ | ↘ | 2,5 |
↗ | +∞ |
Extremums de f
f' s'annule au point 0 et change de signe de (+) à (-)
donc f(0)=0,5 est une valeur maximale dans ]-∞;1[.
f' s'annule au point 2 et change de signe de (-) à (+)
donc f(2)=2,5 est une valeur minimale dans ]1;+∞[.