1.3 Dérivation sur un intervalle et Fonction dérivée

1.3.1 Dérivation sur un intervalle

Définition 1
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I⊂D.
f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout point de I.

Définition 2
f est dérivable sur un segment [a;b] signifie que f est dérivable en tout point de ]a;b[ et dérivble à droite à a et à gauche à b.

1.3.2 Fonction dérivée

Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction qui associe chaque élément x de I par son nombre dérivé f'(x) est appelée Fonction dérivée de f et est noté f'.

Remarque
La fonction dérivée de f est la dérivée première de f, notée f'.

Exemple
Soit f une fonction définie par f(x)=x²
Déterminer f'(x).

Correction
f est définie sur IR. Soit a∈IR
f(a)=a².

a est un nombre réel quelconque donc f est dérivable sur IR et sa fonction dérivée f' est définie par
(∀x∈IR): f'(x)=2x.

Exemple 2
Soit f une fonction définie par f(x)=x³
Déterminer f'(x)

Correction
f est définie sur IR. Soit a∈IR
f(a)=a³

a est un nombre réel quelconque donc f est dérivable sur IR et sa fonction dérivée f' est définie par
(∀x∈IR): f'(x)=3x².

1.3.3 Propriété

Soit f une fonction définie par
f(x)=xⁿ tel que n∈IN*.
La fonction f est dérivable sur IR et sa fonction dérivée est définie par
(∀x∈IR): f'(x)= nx^n-1.

Exemples
Soit f une fonction définie par
f(x)=xⁿ tel que n∈IN*.
f est dérivable sur IR.
1) Si n=4 alors f(x)=x⁴ et (∀x∈IR): f'(x)=4x³.
2) Si n=8 alors f(x)=x⁸ et (∀x∈IR): f'(x)=8x⁷.
3) Si n=13 alors f(x)=x¹³ et (∀x∈IR): f'(x)=13x¹².