Mathématiques du secondaire qualifiant

Exercice 1 tp

Montrer que
(∀x∈IR): cos'(x)=- sinx.

Exercice 2 tp

Etudier la dérivabilité de la fonction f définie par f(x)=sinx.

Correction

Soit a un élément de IR.

lim a	f(x)-f(a)	=	lim a	sin(x)-sin(a)
	x-a			x-a

=	lim a	2cos	(x+a)	× sin	(x-a)
			2		2

		x-a

=	lim a	cos	(x+a)	× sin	(x-a)
			2		2

		x-a
			2

On pose t =	x-a
	2

x→a ⇒ t→0

On a donc

lim t→0	sint	= 1	lim x→a	cos	x+a	= cosa
	t				2

donc

lim a	f(x)-f(a)	= cosa
	x-a

a est un bombre réel quelconque donc sin est dérivable sur IR et sa fonction dérivée sin' est définie par
(∀x∈IR): sin'(x)=cosx.

1.4 Dérivée seconde et dérivées successives

1.4.1 Dérivée seconde

Soit f une fonction dérivable sur I.
Si la fonction dérivée f' à son tour est dérivable sur I alors la fonction dérivée de f' est la fonction Dérivée séconde de f, notée f".
f" est définie comme suit
(∀x∈I) : f"(x)=(f')'(x).

1.4.2 dérivées successives

Si la fonction dérivée seconde f" à son tour est dérivable sur I alors la fonction dérivée de f" est la fonction Dérivée triple ou de rang 3, notée f⁽³⁾ ou f''' ainsi on note la fonction dérivée de rang n par f⁽ⁿ⁾.

Exemple 1
La fonction f définie par f(x)=x² est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): f'(x)=2x.
f' est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): f"(x)=(f')'(x)
=(2x)'=2.

Exemple 2
La fonction g définie par g(x)=x⁵ est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): g'(x)=5x⁴.
g' est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): g"(x)=(g')'(x)
=(5x⁴)'= 20x³.