Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation (11)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = - |x-1|+1
x-1

1) Ecrire f(x) sans valeur absolue.
2) Calculer les limites suivantes


lim
-∞
f(x)
lim
+∞
f(x)

lim
1-
f(x)
lim
1+
f(x)

3) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations f.

Correction

1) D={x∈IR / x-1≠0} =]-∞;1[∪]1;+∞[.
On écrit f(x) sans valeur absolue.

{ f(x) = x-1+ 1 si x< 1
x-1
f(x) = -x+1+ 1 si x> 1
x-1
2)
lim
±∞
1 =
lim
±∞
1 = 0
x-1 x

donc


lim
-∞
f(x) =
lim
-∞
x-1 = - ∞

lim
+∞
f(x) =
lim
+∞
-x+1 = - ∞

Limite de f en 1. On étudie le signe de x-1 au voisinage de 1 car f n'est pas définie en 1.

x -∞ 1 +∞
f(x) - || +

lim
1+
1 = 1 = +∞
x-1 0+

donc


lim
1+
f(x) =
lim
1+
-x+1 +
lim
1+
1
x-1

ainsi


lim
1+
f(x) = 0+∞=+∞

lim
1-
1 = 1 = -∞
x-10-

donc


lim
1-
f(x) =
lim
1-
x-1 +
lim
1-
1
x-1

ainsi


lim
1-
f(x) = 0-∞ = -∞

2) Monotonie de f sur I=]-∞ ; 1[.Soit x∈I

f(x) = x-1+ 1 si x< 1
x-1

donc

f'(x) = 1- 1 = x(x-2)
(x-1)² (x-1)²

f'(x)=0⇔x(x-2)=0⇔x=0 ou x=2
2∉]-∞; 1[ donc x=0.
f est strictement croissante sur ]-∞;0[ et strictement décroissante sur [0; 1[.

Monotonie de f sur J=]1;+∞[. Soit x∈J

f(x) = -x+1+ 1 si x> 1
x-1

donc

f'(x) = -1-1
(x-1)²

(∀x∈]1;+∞[): f'(x)< 0 donc f est strictement décroissante sur ]1;+∞[.

La fonction dérivée de f est définie par

{ f'(x) = 1- 1 si x < 1
(x-1)²
f'(x)= -1- 1 si x > 1
(x-1)²
x -∞ 0 1 +∞
f'(x) + 0 - -
f

-∞

-2


-∞
+∞


-∞