Dérivation (11)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = - |x-1|+ | 1 |
x-1 |
1) Ecrire f(x) sans valeur absolue.
2) Calculer les limites suivantes
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) | |
lim 1- |
f(x) | lim 1+ |
f(x) |
3) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations f.
Correction
1) D={x∈IR / x-1≠0}
=]-∞;1[∪]1;+∞[.
On écrit f(x) sans valeur absolue.
{ | f(x) = x-1+ | 1 | si x< 1 |
x-1 | |||
f(x) = -x+1+ | 1 | si x> 1 | |
x-1 |
2) | lim ±∞ |
1 | = | lim ±∞ |
1 | = 0 |
x-1 | x |
donc
lim -∞ |
f(x) = | lim -∞ |
x-1 = - ∞ |
lim +∞ |
f(x) = | lim +∞ |
-x+1 = - ∞ |
Limite de f en 1. On étudie le signe de x-1 au voisinage de 1 car f n'est pas définie en 1.
x | -∞ | 1 | +∞ | |||
f(x) | - | || | + |
lim 1+ |
1 | = | 1 | = +∞ |
x-1 | 0+ |
donc
lim 1+ |
f(x) | = | lim 1+ |
-x+1 + | lim 1+ |
1 |
x-1 |
ainsi
lim 1+ |
f(x) = 0+∞=+∞ |
lim 1- |
1 | = | 1 | = -∞ |
x-1 | 0- |
donc
lim 1- |
f(x) | = | lim 1- |
x-1 + | lim 1- |
1 |
x-1 |
ainsi
lim 1- |
f(x) = 0-∞ = -∞ |
2) Monotonie de f sur I=]-∞ ; 1[.Soit x∈I
f(x) = x-1+ | 1 | si x< 1 |
x-1 |
donc
f'(x) = 1- | 1 | = | x(x-2) |
(x-1)² | (x-1)² |
f'(x)=0⇔x(x-2)=0⇔x=0 ou x=2
2∉]-∞; 1[
donc x=0.
f est strictement croissante sur ]-∞;0[ et strictement décroissante sur [0; 1[.
Monotonie de f sur J=]1;+∞[. Soit x∈J
f(x) = -x+1+ | 1 | si x> 1 |
x-1 |
donc
f'(x) = -1- | 1 |
(x-1)² |
(∀x∈]1;+∞[): f'(x)< 0 donc f est strictement décroissante sur ]1;+∞[.
La fonction dérivée de f est définie par
{ | f'(x) = 1- | 1 | si x < 1 |
(x-1)² | |||
f'(x)= -1- | 1 | si x > 1 | |
(x-1)² |
x | -∞ | 0 | 1 | +∞ | ||||
f'(x) | + | 0 | - | - | ||||
f | -∞ |
↗ |
-2 | ↘ |
-∞ |
+∞ | ↘ |
-∞ |