Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation (10)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = x+1+1
x

1) Calculer les limites suivantes


lim
-∞
f(x)
lim
+∞
f(x)

lim
0-
f(x)
lim
0+
f(x)

2) Etudier les variations de f.

Correction

1) D={x∈IR / x≠0} =]-∞;0[∪]0;+∞[.


lim
-∞
f(x) =
lim
-∞
x+1+1
x
=
lim
-∞
x+1+
lim
-∞
1
x

On a


lim
-∞
x-1 = -∞
lim
-∞
1 = 0
x

Donc


lim
-∞
f(x) = -∞

lim
+∞
f(x) =
lim
+∞
x+1+
lim
+∞
1
x

on a


lim
+∞
x-1 = -∞
lim
+∞
1 = 0
x

Donc


lim
+∞
f(x) = +∞

lim
0-
f(x) =
lim
0-
x+1+1
x
=
lim
0-
x+1+
lim
0-
1
x

On a


lim
0-
x-1 = -1
lim
0-
1 = -∞
x

Donc


lim
0-
f(x) = -∞

lim
0+
f(x) =
lim
0+
x+1+1
x
=
lim
0+
x+1+
lim
0+
1
x

On a


lim
0+
x-1 = -1 et
lim
0+
1 = +∞
x

donc


lim
0+
f(x) = +∞

2) f est une somme d'une fonction polynôme et une fonction rationnelle donc dérivable sur D. Soit x∈D

f '(x)=(x+1)'+( 1 )' = 1 - 1 = x²-1
x

f' est de signe du trinôme x²-1.
f'(x)=0⇔x²-1=0 ⇔ x=1 ou x=-1
a=1>0 et d'après la propriété du signe d'un trinôme on déduit que f est strictement croissante sur
]-∞;-1] et sur [1;+∞[ et strictement décroissante sur [-1;0[ et ]0;1].

x -∞ -1 0 1 +∞
f '(x) + 0 - - 0 +
f

-∞

-1


-∞
+∞


3

+∞
Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = 2x+5+ 2
x-1

1) Calculer les limites suivantes


lim
-∞
f(x)
lim
+∞
f(x)

lim
1-
f(x)
lim
1+
f(x)

2) Etudier les variations de f.