Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=√(x).
1) Déterminer l'approximation affine de f(1+h) au voisinage de 0.
2) Déterminer une approximation de √(1,004).

Correction

Soit f(a+h)≃hf'(a)+f(a) quand h→0
et f(1)=1.

On détermine f'(1).

donc f est dérivable au point 1 et f'(1)=0,5.
0,004 s'approche de 0 et la fonction √ est dérivable en 1
donc f(1+0,004)≃0,004f'(1)+f(1)
ou encore √(1,004)≃0,004×(0,5)+1
ainsi √1,004 ≃1,002.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=-3x³+x²+5x-4.
Calculer f'(x) tel que x∈D.

Correction

Rappel
1) Soit x∈IR* et n∈ℤ
(xⁿ)'= n x^n-1
2) Si f et g sont dérivables sur un intervalle I alors f+g est dérivable sur I
et on a (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x).

f est une fonction polynôme donc D=IR et dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=(-3x³+x²+5x-4)'
=(-3x³)'+(x²)'+(5x)'+(-4)'
=(-9x²)+(2x)+(5)+(0)
ainsi f'(x)=-9x²+2x+5.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=(1-2x²)(5x+7)
Calculer f'(x) tel que x∈D.

Correction

Notons que si u et v sont dérivables sur un intervalle I alors u×v est dérivable sur I
et on a (u×v)'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

f est le produit de deux polynômes donc dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=[(1-2x²)(5x+7)]'
=(1-2x²)'(5x+7)+(1-2x)(5x+7)'
=-4x(5x+7)+5x(1-2x)
=-20x²-28x+5x-10x²=-30x²-23x
ainsi f'(x)=-30x²-23x.

Exercice 4 tp

Soient f; g; h des fonctions numériques définies par
f(x) = x³-8x²+3x +14
g(x)=(5x²+x+1)-2(7x²+4x-1)
h(x)=(x²+3x+8)(4x+1)
Calculer f'(x) ; g'(x) et h'(x).

Exercice 5 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=(5x²+2x)².
Calculer f'(x).

Correction

Rappel Si f est dérivable sur un intervalle I et n∈IN* alors fⁿ est dérivable sur I et (∀x∈I)
(fⁿ)'(x)=n(f^n-1)f'(x).

f est le carré d'un polynôme donc f est dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=[(5x²+2x)²]'
=2(5x²+2x)(10x+2)
=3(50x³+10x²+20x²+4x)
=150x³+30x²+4x
ainsi f'(x)=150x³+30x²+4x.