Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation (9)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =x²+x-1
2x-2

1) Calculer les limites suivantes


lim
1-
f(x)
lim
1+
f(x)

lim
- ∞
f(x)
lim
+∞
f(x)

2) Etudier les variations de f et déduire ses extremums
3) Déduire le signe de f sur l'intervalle
]1;+∞[.

Correction

1) D={x∈IR/ 2x-2≠0} =]-∞;1[∪]1;+∞[.
(a) On a


lim
-∞
f(x) =
lim
-∞
=
lim
-∞
1 x
2x 2

Donc


lim
- ∞
f(x) = - ∞

(b) On a


lim
+∞
f(x) =
lim
+∞
=
lim
+∞
1 x
2x 2

donc


lim
+ ∞
f(x) = + ∞

(c) Limite de f au point 1.
On étudie le signe de 2x-2 au voisinage de 2

x -∞ 1 +∞
2x+2 - || +

lim
1-
f(x) =
lim
1-
x²+x-1 = 1
2x-2 0-

Donc


lim
1-
f(x) = - ∞

(d) On a


lim
1+
f(x) =
lim
1+
x²+x-1 = 1
2x-2 0+

donc


lim
1+
f(x) = + ∞

2) f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D=IR\{1}. Soit x∈D
f'(x) = (x²+x-1)'(2x-2)-(2x-2)'(x²+x-1)
(2x-2)²

= (2x+1)(2x-2)-2(x²+x-1) = 2x²-4x
(2x-2)² (2x-2)²

donc

f'(x) = x²-2x
2(x-1)²

f'(x)=0⇔ (x=0 ou x=2)
f est strictement croissante sur ]-∞;0]
et strictement croissante sur [2;+∞[.

f est strictement décroissante sur [0;1[
et strictement décroissante sur ]1;2].
Tableau de variations de f

x -∞ 0 1 2 +∞
f'(x) + 0 - - 0 +
f

-∞

0,5


-∞
+∞


2,5

+∞

f' s'annule au point 0 et change de signe de (+) à (-) donc f(0)=0,5 est une valeur maximale dans ]-∞;1[.

f' s'annule au point 2 et change de signe de (-) à (+) donc f(2)=2,5 est une valeur minimale dans ]1;+∞[.
3) 2,5 est une valeur minimale de la fonction f en 2 sur l'intervalle I=]1;+∞[
cela signifie que (∀x∈I): f(x)≥2,5
2,5>0 donc( ∀x∈I): f(x)>0
ainsi f est strictement positive sur I.